1、专题7：平面向量班级 姓名 一、前测训练1 (1)已知向量a(0，2)，|b|2，则|ab|的取值范围是 (2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则的取值范围是 答案：(1)0,4(2)0,1ABCDE2(1)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD，E为BC边上的点，且0则 ； (2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD中点，则 (3)已知OAOB2，0，点C在线段AB上，且AOC60，则_答案：(1),(2)1(3)84二、方法联想1向量的运算方法1 用向量的代数运算方法2 结合向量表示的几何图形变式1、已知平面向量,满足|
2、1，且与的夹角为120，则的模的取值范围是 答案：（0，（结合向量的几何图形求解）变式2、ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3， 则_.答案：(外心隐含着垂直关系)2向量的应用方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决变式1、如图，在ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是 . 答案：解析：两个思路，一是特殊成等腰三角形，建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量
3、，比如以，为基底. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：（已知数量积求相关的其他数量积） 变式3、在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|的最大值是_答案: (采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值)变式4、在等腰梯形中,已知平行于,动点分别在线段上,且,则的最小值为 . 答案：(数量积标示为的函数)变式5、已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则的最小值为 答案：23 （利用向量数量积的定义解决）三、例题分析例1 （1）已知向量a(1，2)，b(2
4、，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c （2）已知向量a(2，1)，ab10，ab5，则b 变式：平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，|b|1，则|a2b| （3）若平面向量a，b满足ab1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b （4）在菱形ABCD中，若AC4，则 答案：（1）（ ， ）；（2）5；变式：2（3）（2，2）或（2，0）；（4）8教学建议一、主要问题归类与方法：1坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件2向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积3第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角
5、坐标系二、方法选择与优化建议：1第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(ab)的模长平方求出答案相对而言，方法2比较简单2第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量ab的两要素，先求出向量ab的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质3第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为；两坐标轴建立直角坐标系例2 （1）已知正ABC的边长为1，73，则 （2）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12（1，2R），则12的值为_。（3）如图，在ABC中，BAC9
6、0，AB6，D在斜边BC上，且CD2DB，则的值为 ABDC（4）已知a，b是单位向量，ab0若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 答案：（1）2；（2）；（3）24；（4）1，1教学建议一、主要问题归类与方法：1三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义2将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理3可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）4（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法二、方法选择与优化建议：1第（3）小题的求解，坐标法优于基底法从图形的结构上发现便于建系2由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易
7、懂例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab（，R），则 （2）如图，在ABC中，ABAC，BC2，若，EBACD则 答案：（1）4；（2）教学建议一、主要问题归类与方法：1一个向量用两个基底向量来表示，平面向量基本定理2解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法二、方法选择与优化建议：1第（1）小题由于不容易用基底来表示，所以用坐标法优于基底法2第（2）小题不容易选择基底，而且运算过程复杂，建系则比较单一，所以用坐标法优于基底法四、反馈练习(专题7：平面向量)1已知向量，且，则 ； 答案：(考查向量平行).2是两个向量，,且,则与的夹角为 ；答案：(考查向量
8、垂直及向量夹角).3在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，则abbcca_.答案4(考查向量数量积，勾股定理逆定理).4在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1，那么c_.答案(考查向量数量积，正余弦定理).5. 设向量向量与的夹角为钝角，则x的取值范围为 答案： (考查向量夹角).6.设向量，其中，若，则 . 答案：(考查向量数量积，两角和与差的三角函数).7.如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点 是线段上靠近的三等分点且则的值为 .答案：24(考查向量数量积).8. (2016江苏)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ，则 的
9、值是 . 答案： (考查向量数量积).9已知ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足0，0，则的最小值为_答案3(考查向量数量积). 10【2015上海】在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 答案(考查向量数量积，角的变换). 11已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若，则_.答案(考查向量共线，数量积).12.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .答案 (考查向量共线，曲线公共点).13【2015福建】已知 ，若 点是 所在
10、平面内一点，且 ，则 的最大值等于 .答案(考查向量数量积).14（2016上海）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .答案(考查向量数量积).15（2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 =,=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是 .答案(考查向量数量积).16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2ac)c0.(1)求角B的大小；(2)若b2，试求的最小值解(1)因为(2ac)c0，所以(2ac)accos Babccos C0，即(2ac)cos Bbcos C0，所以(2sin Asin C)cos
11、Bsin Bcos C0，即2sin Acos Bsin(BC)0，因为sin(BC)sin A0，所以cos B，所以B.(2)因为b2a2c22accos，所以12a2c2ac3ac，即ac4，所以accosac2，当且仅当ac2时等号成立，所以的最小值为2. (考查向量数量积，三角).17已知向量m，n.(1)若mn，求cos 的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的值域来源:Z*xx*k.Com解 (1)因为mn，所以mn0，即sincoscos20，则sincos0，即sin，则cos，所以co
12、s2cos21.(2)由题意，得f(x)mnsin.f(A)sin.由(2ac)cos Bbcos C，及正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bcos Bsin Csin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)，ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，cos B，B，0A.，sin0)(2)易知直线l的斜率必存在，故设其直线方程为yk(x2)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为y2x，故两切线的斜率分别为2x1、2x2.由方程组得x2kx2k0，x1x2k，x1x22k.由l1l2时，4x1x21，k.直线l的方程是y(x2). (考查向量数量积，曲线与方程).
