1、课时作业55最值、范围、证明问题1若A(0，)，B(，1)是椭圆C：1(ab0)上的两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值解：(1)由题意知代入A，B两点坐标，得1，1，解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)根据题意知直线PM，QN的斜率均存在且不为0.设M坐标为(x0，y0)，则1，即x63y.线段PM的中点N，kPMkQN1，即kQN，所以直线lQN：y.令x0，并结合式得yQ，|OQ|yQ|y0|2，当且仅当|y0|，即y0时取等号，所以|OQ|的最小值为.2抛物线y24x
2、的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)O为坐标原点，求证：3；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解：(1)证明：依题意得，F(1,0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1.联立消去x得y24my40设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，故x1x2y1y23.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.由(1)知2SAOB2|OF|y1y2
3、|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是1，且1，a,4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围解：(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，
4、直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得m.所以m.综上所述，m的取值范围为.4已知点A(1，)在椭圆C：1(ab0)上，O为坐标原点，直线l：1的斜率与直线OA的斜率乘积为.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线yxt(t0且tR)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|AN|.解：(1)由题意知，kOAkl，即a24b2，又1，所以联立，解得，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(x1，y1)，由，得x2txt210，所以4t20，即2tb0)的一个焦点，点
5、M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOAkOB(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(，0)，所以点M到两焦点的距离之和为 4.所以a2.又因为c，所以b1，则椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOAkOB0，不符合题意故设直线l的方程为ykxm(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2，x1x2.而kOAkOB2k2k，由kOAkOB，可得m24k1，所以k.又由0，得16(4k2m21)0，所以4k24
6、k0，解得k1，综上，直线l的斜率的取值范围为(1，)6已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2y22相交于E，F两点，求|AB|EF|2的取值范围解：(1)由题意得，所以a2b2，所以椭圆的方程为1，将点代入方程得b22，即a23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x1，则A，B，E(1,1)，F(1，1)，所以|AB|，|EF|24，|AB|EF|2.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立可得(23k2)x26k2x3k260，则x1x2，x1x2，所以|AB|.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d，所以|EF|24，所以|AB|EF|2.因为k20，)，所以|AB|EF|2.综上，|AB|EF|2.
