1、课时作业55最值、范围、证明问题1若A(0,),B(,1)是椭圆C:1(ab0)上的两点(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,M为椭圆C上一动点,点P(3,0),线段PM的垂直平分线交y轴于点Q,求|OQ|的最小值解:(1)由题意知代入A,B两点坐标,得1,1,解得a26,b22,所以椭圆C的标准方程为1.(2)根据题意知直线PM,QN的斜率均存在且不为0.设M坐标为(x0,y0),则1,即x63y.线段PM的中点N,kPMkQN1,即kQN,所以直线lQN:y.令x0,并结合式得yQ,|OQ|yQ|y0|2,当且仅当|y0|,即y0时取等号,所以|OQ|的最小值为.2抛物线y24x
2、的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点(1)O为坐标原点,求证:3;(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值解:(1)证明:依题意得,F(1,0),且直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为xmy1.联立消去x得y24my40设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y24m,y1y24.x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11,故x1x2y1y23.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2SAOB.由(1)知2SAOB2|OF|y1y2
3、|4,所以当m0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.3已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是1,且1,a,4c成等比数列(1)求椭圆的方程;(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),求实数m的取值范围解:(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1,0),设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时,直线MN为y轴,此时m0.当k0时,
4、直线MN的方程为y,化简得kyx0.令y0,得m.所以m.综上所述,m的取值范围为.4已知点A(1,)在椭圆C:1(ab0)上,O为坐标原点,直线l:1的斜率与直线OA的斜率乘积为.(1)求椭圆C的方程;(2)不经过点A的直线yxt(t0且tR)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于两点M,N,求证:|AM|AN|.解:(1)由题意知,kOAkl,即a24b2,又1,所以联立,解得,所以椭圆C的方程为y21.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(x1,y1),由,得x2txt210,所以4t20,即2tb0)的一个焦点,点
5、M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且kOAkOB(O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围解:(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(,0),所以点M到两焦点的距离之和为 4.所以a2.又因为c,所以b1,则椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,kOAkOB0,不符合题意故设直线l的方程为ykxm(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2,x1x2.而kOAkOB2k2k,由kOAkOB,可得m24k1,所以k.又由0,得16(4k2m21)0,所以4k24
6、k0,解得k1,综上,直线l的斜率的取值范围为(1,)6已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且与圆O:x2y22相交于E,F两点,求|AB|EF|2的取值范围解:(1)由题意得,所以a2b2,所以椭圆的方程为1,将点代入方程得b22,即a23,所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知,椭圆的右焦点为(1,0),若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x1,则A,B,E(1,1),F(1,1),所以|AB|,|EF|24,|AB|EF|2.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2)联立可得(23k2)x26k2x3k260,则x1x2,x1x2,所以|AB|.因为圆心O(0,0)到直线l的距离d,所以|EF|24,所以|AB|EF|2.因为k20,),所以|AB|EF|2.综上,|AB|EF|2.