1、1.复习平面向量数量积定义；2.平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.引入1.两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OAa,OBb,则AOB叫做向量a 与b的夹角,记作a,b bAOBabaaaAbBOb说明(1)0180 当a,b时，a 与b同向；当a,b 时，a 与b反向；当a,b 时，称a 与b垂直，记ab2 新课两个向量的夹角唯一确定且 a,bb,a.在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的；a,b(a,b).说明：零向量与任一向量的数量积为0，即0a；符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.2.两个向
2、量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a|b|cosa,b叫做向量a，b的数量积，记作a b，即 a b|a|b|cosa,b.2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a|b|cosa,b叫做向量a、b的数量积，记作ab，即 a b|a|b|cosa,b.几何意义：已知向量ABa和轴l，e是l上和l同方向 的单位向量作点A在l上的射影A，点B在l上 的射影B，则A B叫做向量AB在轴l上或在 e方向上的正射影，简称射影 lB A B A 3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：aeacosa,e；a ba b当a与b同向时，abab；当a与
3、b反向时，abab.2a aaaaa2或aabab.cosa,b a bab4空间向量数量积运算律：baba）（数乘分配律：()()()aba bab()abca ba c分配律：数乘结合律：交换律：不满足结合律：()()a b ca b c a bb a 问题：对于空间两个不共线且长度相等的向量 ，（1）试比较 与 的大小.（2）向量 与 的位置关系如何？baba ba ba ba 解法1：abba ba abababba ba abab2,0(,bababa当时baba),2(,ba当时（1）（2）上面三个图形若为菱形，则 与垂直aabb 解法2：)1(22222babababa)2(22
4、222bababababababa,cos观察（1）（2）两式，也可得出与解法1相同的结论.例1 已知平面 平面,=l,点A,B在 内,并且它们在l上的正射影分别为 在 内,并且他们在l上的正射影分别为 ,求证:AB CDA B C D l B A A B C D C D,.,A B C D,C D 例题例2 已知长方体ABCD-ABCD,AB=AA=2,AD=4,E 为侧面AB的中心,F为AD的中点,计算下列数积:BCED,BFAB,EFFC.aEbcDABCFADCB 例3 如图,在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,ACD90将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B与D之间的距
5、离.CDACCDABACABCDACABCDACABADABBDBD2222222222解：ABCD2,2120,2,460,12060,600,0,22BDBDCDABBDBDCDABCDABCDABCDACACABCDACACAB时，当时，当或所成角为、又BCDA 不失一般性，应注意分析题意，弄清题目的已知是什么，未知是什么.本题中还应完成两个转化：将几何条件和结论转化为用向量表示;由未知逐步向已知转化.小结 课堂练习13,6,3 3ababab.已知，求 与 的夹角.2.在空间四边形ABCD中，求证：ABCD的充要条件是：AC2+BD2=AD2+BC2.思考：1.向量本身具有什么特点？2.两个向量数量积的定义有何意义？课后作业P92 练习P98 习题3.1 A组 4,5.
