1、北京市第十三中学20142015学年第一学期高三数学（理科）期中测试试题2014年11月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷从第 1页至第2页；第卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知锐角终边上一点的坐标是，则的弧度数是 （ A ）ABCD2若，为实数，则“”是“或”的 （ A ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知直线是
2、的切线，则的值为 (C)ABCD4若函数，若，则实数的取值范围是 （ A ）解析：特值法：取及成立，选A； 图象法：画图，看图；代数法：当时，； 当时；ABCD5 函数的图象是 （ A ）解析：奇函数；求导，极值点为.6设函数，的零点分别为，则（ A ）解析：ABCD7对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：；.其中存在“稳定区间”的函数有 （ B ） ABCD8函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点（1,0）对称， 满足不等式，为坐标原点，则当时，的取值范围为 ( D )A BCD 第卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共
3、30分）9若复数（）为纯虚数，则等于 . 110若，则与的夹角为 . 11已知不超过5的正整数，且，则 . 12函数的图象如图所示，则= ,2026 ，13已知向量满足,，则 . 14如图，在直角梯形中，P为线段（含端点）上一个动点，设，对于函数，给出以下三个结论： 当时，函数的值域为； ，都有成立；，函数的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_.解析：以B为原点建立直角坐标系，则,，设，当时，则，所以错；，所以成立；, 开口向上，又对称轴， 且，.所以成立.三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15（本小题共13分）在锐角中，且.（）求的大小；（）若，求的值.15.解：（）由正弦定理可
4、得 -2分 因为 所以 -5分 在锐角中， -7分（）由余弦定理可得 -9分 又因为，所以，即 -11分解得， -12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. -13分16.（本小题满分13分）已知向量，其中（）当时，求值的集合；（）当时，求的最大值16解：（）由，得，即 4分则，,得或，5分 或为所求6分（），10分，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式已知每日的利润，且当时，.（）求的值；（）当日产量为多少吨时，每日的
5、利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（）由题意可得： 2分因为时，所以. 4分所以. 5分（）当时，. 9分当且仅当，即时取得等号.10分当时，. 12分所以当时，取得最大值. 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. 13分18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记（）若，求；（）分别过作轴的垂线，垂足依次为记 的面积为，的面积为若，求角的值解：（）由三角函数定义，得 ，2分 因为 ， 所以 3分 所以 5分（）解：依题意得 ， 所以 ， 7分 9分 依题意得 ， 整理
6、得 11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；（)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（），定义域 ，令得，x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)减增无极大值， 3分（）， 定义域 ， 4分当时，在上恒成立，在上递增； 6分当时，令得，x(0, ) (，)f(x)0f(x)减增在上递减，在上递增； 8分（）区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， 9分 由（）知当时，在上增，；10分当时，在上递减，在上递增（）当即时， 在上增， ， 无解 11分（）当即时， 在上递
7、减 12分（）当即时， 在上递减，在上递增，令，则在递减 无解即无解 14分 综上：或20（本小题满分14分）已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性. （）求c的值； （）在函数的图象上是否存在一点在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （）求的取值范围.20解：（） 2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 4分 （）令，由（）得2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故7分假设存在点使得在点M处的切线斜率为3b，则即因为且、b异号.所以故不存在点使得在点M处的切线斜率为3b.10分 （）设即所以即12分所以因为 当14分
