1、椭圆及其标准方程与性质的习题课一、教学目标：（一）知识与技能掌握椭圆、椭圆的焦点、焦距的定义、会推倒椭圆的方程。（二）过程与方法通过椭圆的定义及标准方程的推导，进一步掌握求轨迹的方法，在运用类比、数形结合、分类讨论和划归等数学方法过程中，提高学生解决几何问题的能力（三）情感态度与价值观帮助学生建立数学的审美观和运动、变化的观点，培养其探索能力、合作品质和进取精神。二教学重难点：1 考查椭圆的方程及其几何性质2 考查直线与椭圆的位置关系【复习指导】1熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程2掌握常见的几种数学思想方法函数与方程、数形结合、转化与化归等体会解析几何的本质问题用代数的方法解决
2、几何问题基础梳理 1椭圆的概念(1)我们把平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作这两个定点叫作椭圆的，两个焦点间的距离叫作(2)集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：若，则集合 P 为椭圆；若，则集合 P 为线段；若，则集合 P 为空集 椭圆焦点焦距acacac标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图 形2椭圆的标准方程和几何性质续表性 质范 围xybxbaya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)
3、，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|2c离心率ea，b，c的关系c22a2b(0,1)a2b2aabb一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程 x2m y2n 1时，椭圆的焦点在x轴上mn0；椭圆的焦点在y轴上0mn.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端
4、点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2a2c2就可求得e(0e1)(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴基础自测1(北师大版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6，则椭圆的方程为()A.x29y2161 B.x225y2161C.x225y2161 或x216y2251 D以上都不对解析 2a2b18，ab9，又2c6，c3，则 c2a2b29，故 ab1，从而可得 a5，b4，椭
5、圆的方程为x225y2161 或x216y2251.答案 C2设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析 依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.答案 D3“3m5”是“方程 x25m y2m31 表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解 析 要 使 方 程x25my2m3 1 表 示 椭 圆，应 满 足5m0，m30，5mm3，解得3m5 且 m1，因此“3m5”是“方程 x25m y2m31 表示椭圆”的必要不充分条件答案 B4椭圆x29 y24k1 的离
6、心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D.1925或 21解析 若 a29，b24k，则 c5k，由ca45即5k345，得 k1925；若 a24k，b29，则 ck5，由ca45，即k54k45，解得 k21.答案 C5在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为_解析 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)e 22，ca 22，根据ABF2 的周长为 16 得 4a16，因此 a4，
7、b2 2，所以椭圆方程为x216y281.答案 x216y281一、椭圆定义的应用【例 1】已知 F1、F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.审题视点 关键抓住点 P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用PF1 PF2，进而得解解析 由题意知|PF1|PF2|2a，PF1 PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F212|PF1|PF2|1
8、22b2b29.b3.答案 3椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等【训练 1】已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x23y21 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是()A2 3B6C4 3D12解析 由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a，周长为 4a4 3(F 是椭圆的另外一个焦点)答案 C二求椭圆的标准方程【例 2】(1)求与椭圆x24y231 有相同的离心率且经过点(2，3)的椭圆方程(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴
9、的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5、3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程审题视点 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定解(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24y23t(t0)，椭圆过点(2，3)，t224 3232，故所求椭圆标准方程为x28y261.(2)设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，2c25232，解得a4，c2，b212.故所求方程为x216y2121或y216x2121.运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于 a、b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，
10、考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为 mx2ny21(m0，n0，mn)，由题目所给条件求出 m、n 即可【训练 2】(1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程(2)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点 M，N 与 F 构成正三角形，求椭圆的方程解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，椭圆过点A(3,0)，9a21，a3，2a32b，b1，方程为x29y21.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，椭圆过点A(3,0)，02a2 9b21，b3，又2a32b
11、，a9，方程为y281x291.综上所述，椭圆方程为x29y21或y281x291.(2)由FMN为正三角形，则c|OF|32|MN|32 23b1.b 3.a2b2c24.故椭圆方程为x24y231.三椭圆几何性质的应用【例 3】已知椭圆 G：x24y21.过点(m,0)作圆 x2y21 的切线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值审题视点(1)由椭圆方程可直接求出 c，从而求出离心率(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值解(1)由已知
12、得，a2，b1，所以c a2b2 3.所以椭圆G的焦点坐标为(3，0)，(3，0)，离心率为eca 32.(2)由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为1，32，1，32，此时|AB|3.当m1时，同理可得|AB|3.当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由 ykxm，x24y21.得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2 8k2m14k2，x1x24k2m2414k2.又由l与圆x2y21相切，得|km|k211，即m2k2k21.所以|AB|x2x12y2y121k2x1x224x1x2
13、1k264k4m214k2244k2m2414k24 3|m|m23.由于当m1时，|AB|3，所以|AB|4 3|m|m23，m(，11，)因为|AB|4 3|m|m23 4 3|m|3|m|2，且当m 3时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率【训练 3】在 RtABC 中，ABAC1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB 上，则这个椭圆的离心率为_解
14、析 设另一个焦点为F，如图所示，|AB|AC|1，ABC为直角三角形，11 24a，则a2 24，设|FA|x，x12a，1x 22a，x 22，12224c2，c 64，eca 6 3.答案 6 3四椭圆中的定值问题【例 4】如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e 22，一条准线的方程为 x2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点 P 满足：，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为12.问：是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求 F1，F2的坐标；若不存在，说明理由审题视点(1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程(2)充分利用椭圆
15、的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点解(1)由eca 22，a2c 2 2，解得a2，c 2，b2a2c22，故椭圆的标准方程为x24y221.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M、N在椭圆x22y24上，所以x212y214，x222y224，故x22y2(x214x224x1x2)2(y214y224y1y2)(x212y21)4(x222y22)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
16、kOMkONy1y2x1x212，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P点是椭圆x22 52y2 1021上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值又因c 2 52 102 10，因此两焦点的坐标为F1(10，0)，F2(10，0)本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点 P，利用设而不求的方法求出 P 点的轨迹方程，从而找出定点【训练 4】如图，已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e12.(1)求椭圆 E 的方程；(2)求F1AF2 的角平分线所在直线 l 的
17、方程解(1)设椭圆E的方程为x2a2y2b21(ab0)，由e12，即ca12，得a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程可化为 x24c2 y23c21.将A(2,3)代入上式，得1c23c21，解得c2，椭圆E的方程为x216y2121.(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y34(x2)，即3x4y60，直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数设P(x，y)为l上任一点，则|3x4y6|5|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直线l的方程为2xy10.规范解答怎样求
18、解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上【解决方案】解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数【示例】设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2.点 P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，若直线 PF2 与圆(x1)2(y 3)216 相交于 M，
19、N 两点，且|MN|58|AB|，求椭圆的方程第(1)问由|PF2|F1F2|建立关于 a、c 的方程；第(2)问可以求出点 A、B 的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解解答示范(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以 ac2b22c.整理得 2ca2ca10，得ca1(舍)，或ca12.所以 e12.(4 分)(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2 的方程为 y 3(xc)A、B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2，y 3xc.消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10，x285c.得方程组的解为x10，y1 3c，x285c，y23 35 c.不妨设 A85c，3 35 c，B(0，3c)，所以|AB|85c 23 35 c 3c 2165 c.(8 分)于是|MN|58|AB|2c.圆心(1，3)到直线 PF2 的距离 d|3 3 3c|23|2c|2.因为 d2|MN|2242，所以34(2c)2c216.整理得 7c212c520.得 c267(舍)，或 c2.所以椭圆方程为x216y2121.(12 分)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c)，这样可避免繁琐的运算而失分
