1、2.2.1双曲线及其标准方程2.3.1双曲线及其标准方程1.椭圆的定义 和 等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,2.引入问题：差 等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图(B)，上面 两条合起来叫做双曲线由可得：|MF1|-|MF2|=2a （差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 两个定点F1、F2双曲线的焦点;|F1F2|=2c 焦距.（1）2a0；双曲线定义思考：（1）若
2、2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？|MF1|-|MF2|=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线 F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点 设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=2a4.化简 aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac
3、)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程12222 byax12222 bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22,yx2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题定 义方 程焦 点a.b.c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭圆双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab2222
4、1(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab解：126PFPF焦点为12(5,0),(5,0)FF 可设所求方程为:22221xyab (a0,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.所以点 P 的轨迹方程为221916xy.1210F F 6,由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,例 1 已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点 P 满足126PFPF,求动点 P 的轨迹方程.变式训练 1:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点 P 满足 1210PFPF,求动点 P 的轨迹方程.解：1210PFPF轨迹方程为0(55)y
5、xx或.1210F F,点 P 的轨迹是两条射线,变式训练 2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点 P 满足 126PFPF,求动点 P 的轨迹方程.变式训练 2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点 P 满足 126PFPF,求动点 P 的轨迹方程.解：126PFPF焦点为12(5,0),(5,0)FF 可设双曲线方程为:22221xyab (a0,b0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16.所以点 P 的轨迹方程为221916xy(3)x.1210F F 6,由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支),写出适合下列条件的双曲线的标
6、准方程练习1.a=4,b=3,焦点在x轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3.a=4,过点(1,)4 103例2 如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_.22121xymm思考：21mm 得或(2)(1)0m m由2m m 的取值范围为(,2)(1,)使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合 解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例3 已知A,B两地相距8
7、00m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 340 2680PAPB即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx1(0)11560044400 xyx222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 44400bca222思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮
8、弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?答:爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.思考 3:(2004 年高考题)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)PBAC分析:依题意画出图形
9、(如图)只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解方程组就可以确定巨响点的位置.要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.xyo直觉巨响点的位置情况.解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.设 P（x,y）为巨响点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|PA|=3404=1360,由双曲线定义知 P 点在以 A、B
10、 为焦点的双曲线22221xyab的一支上，依题意得 a=680,c=1020，22222210206805 340bca 双曲线的方程为222216805 340 xy 用 y=x 代入上式，得5680 x，|PB|PA|,680 5,680 5,(680 5,680 5),680 10 xyPPO 即故 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心680 10m处.学习小结:本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,体会双曲线在实际生活中的一个重要应用.其实全球定位系统就是根据例 3 这个原理来定位的.运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错
11、的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最容易想到的地方.1.已知动圆P与221:(5)36Fxy外切,且过点2(5,0)F,求动圆圆心 P 的轨迹方程.作业:2.设12,F F 是双曲线2214xy的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足1290F PF,求12F PF的面积.课堂练习(巩固及提高):1.已知在ABC中,(5,0),(5,0)BC,点 A 运动时满足3sinsinsin5BCA,求点 A 的轨迹方程.221(3)916xyx 2.如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时,点 Q 的轨迹是什么?为什么?
