1、第四章DISIZHANG定积分3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间a,b上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为()A.abf(x)dxB.abf(x)dxC.ab|f(x)|dxD.以上都不对解析当f(x)在区间a,b上满足f(x)0时,abf(x)dx0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,abf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.答案C2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=abf(x)-g(x)dx求出的是()解析定积分S=abf(x)-g(x)dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,
2、必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.答案D3.如图,由函数f(x)=ex-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于()A.e2-2e-1B.e2-2eC.e2-e2D.e2-2e+1解析由已知得S=12f(x)dx=12(ex-e)dx=(ex-ex)|12=e2-2e.答案B4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为()A.283B.32C.43D.3解析所求圆台的体积V=12(2x)2dx=124x2dx=413x3|12=43(8-1)=283
3、.答案A5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析由y=x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=01(x-x)dx=23x32-x22|01=23-12=16.故所求概率为S阴影S正方形=161=16.答案C6.曲线y=cos x2x32与x轴围成的平面图形的面积为.解析由图可知,曲线y=cosx2x32与x轴围成的平面图形的面积S=232cos xdx=-sin x232=-sin32-sin2=2.答案27.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面
4、积为.解析S=1313-1xdx+13(3-x)dx=(3x-lnx)|131+3x-12x2|13=3-1-ln13+9-1232-3-12=4-ln3.答案4-ln 38.计算由y2=x,y=x2所围成图形的面积.解如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组y2=x,y=x2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=01(x-x2)dx,又因为23x32-13x3=x12-x2,所以S=23x32-13x3|01=23-13=13.9.求由曲线y=x2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.解画出草图,如图所示.所求平面图形为图中
5、阴影部分.解方程组y=x2+4,y=5x,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=01(x2+4-5x)dx+14(5x-x2-4)dx=13x3+4x-52x201+52x2-13x3-4x14=13+4-52+5242-1343-44-52+13+4=193.10.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.解由方程组y2=2x,y=4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x作为积分变量,由图可得S=SA1+SA2.在A1部分:由于抛物线的上部分方程为y=2x,下部分方程为y=-2x,所以SA1=022x-(-2x)dx=2202x
6、12dx=2223x32|02=163.SA2=284-x-(-2x)dx=4x-12x2+223x32|28=383.所以S=163+383=18.方法二:y2=2x,x=12y2.由y=4-x.得x=4-y,S=-424-y-12y2dy=4y-12y2-16y3|-42=18.B组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S1=1,S2=3,S3=32,则-322f(x)dx等于()A.112B.12C.-12D.72解析-322f(x)dx=-32-1f(x)dx+-11f(x)dx+12f(x)dx=S1-S2+S3=1-3+32=-12.答案C2
7、.设直线y=1与y轴交于点A,与曲线y=x3交于点B,O为原点,记线段OA,AB及曲线y=x3围成的区域为.在内随机取一点P,已知点P取在OAB内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为()A.13B.14C.15D.16解析联立y=1,y=x3,解得x=1,y=1.则曲边梯形OAB的面积为01(1-x3)dx=x-14x401=1-14=34.在内随机取一个点P,点P取在OAB内的概率等于23,点P取在阴影部分的概率等于1-23=13,图中阴影部分的面积为3413=14.故选B.答案B3.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k的值为.解析抛物线y=x
8、-x2与x轴两交点横坐标为0,1,抛物线与x轴所围成图形的面积为S=01(x-x2)dx=x22-x33|01=16,抛物线y=x-x2与直线y=kx的两交点横坐标为0,1-k.S2=01-k(x-x2-kx)dx=1-k2x2-x33|01-k=16(1-k)3.又S=16,(1-k)3=12.k=1-312=1-342.答案1-3424.由直线y=x和曲线y=x3(x0)所围成的平面图形,绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.解析由y=x,y=x3(x0),得x=0,y=0,或x=1,y=1.故所求体积V=01x2dx-01x6dx=01x2dx-01x6dx=13x3|01-17x7|01=
9、13-17=421.答案4215.已知函数f(x)=x3-x2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积.解(1,2)为曲线f(x)=x3-x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f(1)=312-21+1=2,过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图.由y=x2,y=2x可得交点A(2,4).又SAOB=1224=4,g(x)=x2与直线x=2,x轴围成的区域的面积S=02x2dx=13x3|02=83,y=2x与函数g(x)=x2围成的图形的面积为S=SAOB-S=4-83=43.
