1、第四章DISIZHANG定积分1定积分的概念课后篇巩固提升A组1.一辆汽车作变速直线运动,汽车的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)之间具有如下函数关系:v(t)=t22+6t,求汽车在0t2这段时间内行驶的路程s时,将行驶时间等分成n段,下列关于n的取值中,所得估计值最准确的是()A.5B.10C.20D.50解析将行驶时间分的越细,得到的估计值越准确.答案D2.定积分13(-3)dx等于()A.-6B.6C.-3D.3解析由定积分的几何意义可知13(-3)dx表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数,故13(-3)dx=-6.答案A3.已知abf(x)dx=6,
2、则ab6f(x)dx等于()A.6B.6(b-a)C.36D.不确定解析abf(x)dx=6,在ab6f(x)dx中曲边梯形上、下底边长变为原来的6倍,由曲边梯形面积公式,知ab6f(x)dx=6abf(x)dx=36.答案C4.设f(x)=x2+x4,则与-aaf(x)dx的值一定相等的是()A.0B.20af(x)dxC.2-aaf(x)dxD.0af(x)dx解析f(x)为偶函数,故它在-a,0和0,a上的图像关于y轴对称,由定积分的几何意义可知-aaf(x)dx=20af(x)dx.答案B5.如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.02
3、(x2-1)dxB.02(x2-1)dxC.02|x2-1|dxD.01(x2-1)dx+12(x2-1)dx解析面积S=01(1-x2)dx+12(x2-1)dx=02|x2-1|dx.答案C6.化简01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx+99100f(x)dx=.解析01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx+99100f(x)dx=0100f(x)dx.答案0100f(x)dx7.比较大小:-20exdx-20xdx.解析-20exdx-20xdx=-20(ex-x)dx,令f(x)=ex-x(-2x0).f(x)0,由定积分的几何意义知-20f(x)dx0-20
4、e,xdx-20xdx.答案8.已知定义在R上的函数f(x)与g(x),若函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,且0af(x)dx=6,则-aaf(x)+2g(x)dx=.解析函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,函数f(x)的图像关于y轴对称,函数g(x)的图像关于原点对称.-aaf(x)dx=20af(x)dx=12,-aag(x)dx=0,-aaf(x)+2g(x)dx=-aaf(x)dx+2-aag(x)dx=12.答案129.用图像表示下列定积分:(1)12log2xdx;(2)26xdx.解(1)12log2xdx表示曲线y=log2x,直线x=1,x=2及x轴围成的曲
5、边梯形的面积,如图中阴影部分所示.(2)26xdx表示直线y=x,x=2,x=6及x轴围成的直角梯形的面积,如图中阴影部分所示.10.利用定积分的性质求-112xx4+1+sin3x-ex-1ex+1dx.解y=2xx4+1,y=sin3x显然均为-1,1上的奇函数.而对f(x)=ex-1ex+1,f(-x)=e-x-1e-x+1=1-ex1+ex=-f(x),函数f(x)=ex-1ex+1为奇函数.-112xx4+1dx=0,-11sin3xdx=0,-11ex-1ex+1dx=0.-112xx4+1+sin3x-ex-1ex+1dx=-112xx4+1dx+-11sin3xdx-11ex-
6、1ex+1dx=0.B组1.设f(x)=x2,x0,2x,x0)的值为.解析此定积分的值可以看作曲线y=a2-x2,x=a,x=-a,y=0围成的曲边梯形的面积.y=a2-x20,即x2+y2=a2(y0)表示圆心在原点,半径为a的圆在x轴上方的半圆,-aaa2-x2dx=2a2.答案2a24.利用定积分的几何意义比较下列各对积分值的大小.(1)01x2dx与01xdx.(2)0110xdx与015xdx.解(1)在区间(0,1)上有x2x,01x2dx5x,0110xdx015xdx.5.求定积分01(1-(x-1)2-x)dx的值.解由定积分的性质可知01(1-(x-1)2-x)dx=011-(x-1)2dx-01xdx,因此它表示圆(x-1)2+y2=1(y0)在x=0与x=1之间部分的面积与直线y=x,x=0,x=1及y=0围成的图形的面积之差,如图中阴影所示,故原式=1412-1211=4-12.
