1、第2课时线性规划的实际应用课时过关能力提升基础巩固1某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,若x和y须满足约束条件2x-y5,x-y2,x0,当x=4,y=6时,z取得最大值.故投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.能力提升1某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别
2、为x吨、y吨,由题意知,x,y需满足约束条件3x+2y12,x+2y8,x0,y0,每天可获得利润z=3x+4y.由约束条件画出可行域,如图所示,l0:y=-34x,平移l0得点C,使z取得最大值.由3x+2y=12,x+2y=8,得C(2,3),故zmax=6+12=18(万元).答案:D2如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C23,45是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()A.-103,-512B.-125,-310C.310,125D.-125,310解析:最优解为C点,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为kBC=-310,
3、kAC=-125,所以a-125,-310.答案:B3某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载质量为10吨的甲型卡车和7辆载质量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z等于()A.4 650元B.4 700元C.4 900元D.5 000元解析:设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则10x+6y72,x+y12,2x+y19,0x8,xN,0y7,yN,目标函数z=450x+350
4、y.画出可行域,如图阴影部分的整数点.当目标函数经过A(7,5)时,利润z最大,为4 900元.答案:C4铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析:可设需购买A铁矿石x万吨,B铁矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为x0,y0,0.5x+0.7y1.9,x+0.5y2,目标函数为z=3x+6y.当目标函数对应的直线经过点(1,2)时,目标函数取最小值,最小值为zmin=31+62=15.答案:155某
5、电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有种.解析:设购买软件x片,磁盘y盒.由题意,得60x+70y500,x3,xN,y2,yN,即6x+7y50,x3,xN,y2,yN,3x6.x=3,4,5,6.当x=3时,2y327,此时y=2,3,4.当x=4时,2y267,此时y=2,3.当x=5时,2y207,此时y=2.当x=6时,y=2.整点为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2),则不同的选购方式有7种.答案:76已知甲、乙两煤矿每年的产量分
6、别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?解设甲煤矿向东车站运x万吨煤,乙煤矿向东车站运y万吨煤,那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元),即z=716-0.5x-0.8y.x,y应满足x0,y0,200-x0,260-y0,x+y280,(200-x)+(260-y)360,即0x200,0y260
7、,100x+y280,作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.设直线x+y=280与y=260的交点为M,则M(20,260).把直线l0:5x+8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小.因为点M的坐标为(20,260),所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨,向西车站运180万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,能使总运费最少.7甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f(x),g(x)及任意的x0,当甲公司投入x万元改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于f(x)万元,则乙有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x万元改造设备时,若甲公司投
8、入改造设备费用小于g(x)万元,则甲有倒闭的风险,否则无倒闭的风险.(1)请解释f(0),g(0)的实际意义;(2)设f(x)=x+5,g(x)=12x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?解(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f(0)万元的资金;g(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时,甲公司要避免倒闭,至少要投入g(0)万元的资金.(2)设甲公司投入的资金为x万元,乙公司投入的资金为y万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需yx+5,x12y+10,x0,y0,改造设备资金为z=x+y,此不等式组表示的平面区域(阴影部分)如图所示.作直线l0:x+y=0,平移直线l0,在可行域中的点P处z=x+y取得最小值.由y=x+5,y=2x-20,得P(25,30),故在双方均无倒闭风险的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.
