1、第六章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率6.1.2导数及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)=x2-1在区间1,m上的平均变化率为3,则实数m的值为()A.3B.2C.1D.4答案B解析由已知,得=3,m+1=3,m=2.2.若函数f(x)=x+,则f(1)=()A.2B.C.1D.0答案D解析f(1)=1-=0.3.函数y=x2在区间x0,x0+x(x0)上的平均变化率为k1,在x0-x,x0上的平均变化率为k2,则()A.k1k2B.k10,所以k1k2.故选A.4.已知函数f(x)=x2,则在曲线y=f(x)上切线倾斜角为的点是()A.(0,0)B.(2,
2、4)C.D.答案D解析设切点为(x0,y0),f(x0)=(2x0+x)=2x0,2x0=tan=1,得x0=.y0=,所求点的坐标为.5.(2020北京八一中学高二月考)已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),则的值为()A.-2B.-1C.1D.2答案C解析直线l经过(-1,0),(0,1)两点,l:y=x+1.由直线与曲线y=f(x)相切于点A(2,3),可得曲线在x=2处的导数为f(2)=1,f(2)=1.6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示.在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为,其三者的大小关系是.答
3、案解析=kMA,=kAB,=kBC,由图像可知,kMAkABkBC,.7.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=2t2+2t,则:(1)前3 s内球的平均速度为 m/s;(2)在t2,3这段时间内球的平均速度为 m/s.答案(1)8(2)12解析(1)由题意知,t=3(s),h=h(3)-h(0)=24(m),即平均速度为v=8(m/s).(2)由题意知,t=3-2=1(s),h=h(3)-h(2)=12(m),即平均速度为v=12(m/s).8.已知函数f(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P
4、的坐标是.答案(0,0)解析设P(x0,y0),则f(x0)=(2x0+2+x)=2x0+2.因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,所以点P处的切线的斜率为2,所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).9.(2020山东潍坊高三检测)若函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,求a的值.解f(1+x)-f(1)=a(1+x)2+c-a-c=a(x)2+2ax,f(1)=(ax+2a)=2a,即2a=2,a=1.10.已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解(1)设切点为(x0,y0),f(
5、x0)=2x0,f(1)=2.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,f(x0)=2x0,切线方程为y-y0=2x0(x-x0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),再由A(x0,y0)在曲线y=f(x)上得y0=,联立得x0=1或x0=5.当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y
6、-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.关键能力提升练11.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有()A.两机关节能效果一样好B.A机关比B机关节能效果好C.A机关的用电量在0,t0上的平均变化率比B机关的用电量在0,t0上的平均变化率大D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大答案B解析由图可知,A,B两机关用电量在0,t0上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在0,t0上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B
7、机关节能效果好.12.设函数f(x)可导,则等于()A.f(1)B.3f(1)C.f(1)D.f(3)答案C解析=f(1).13.(2020江西南昌高三检测)设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2答案D解析=-1,=-2,即f(1)=-2.由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1)处的切线斜率k=f(1)=-2,故选D.14.如图所示,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,则f(4)+f(4)的值为()A.0B.1C.-1D.2答案C解析切线方程为y=-2x+9,当x=4时,y=1,f(4)=
8、-2,则f(4)=1,f(4)+f(4)=-1,故选C.15.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)s(t)=求:(1)物体在t3,5内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.解(1)因为物体在t3,5内的时间变化量为t=5-3=2,物体在t3,5内的位移变化量为s=352+2-(332+2)=3(52-32)=48,所以物体在t3,5上的平均速度为=24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.因为物体在t=0附近的平均变化率为=3t-18.所以物体在t=0处的瞬时变化率为(3t-18)=-18.即物体的初速度v0=-18 m/s.(
9、3)物体在t=1时的瞬时速度即函数在t=1处的瞬时变化率.因为物体在t=1附近的平均变化率为=3t-12.所以物体在t=1处的瞬时变化率为(3t-12)=-12.即物体在t=1时的速度为-12 m/s.16.(2020山西临汾高三检测)已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.解f(a)=3a2,曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为.三角形的面积为|a3|=,得a=1.学科素养拔高练17.(2020广东佛山高三检测)已知函数f(x)=,曲线y=f(x).(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为P,则f(x0)=-,即该切线的斜率为k=-.因为点A(1,0),P在切线上,所以=-,解得x0=.故切线的斜率k=-4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),即4x+y-4=0.(2)设斜率为-的切线的切点为Q,由(1)知,k=f(a)=-=-,得a=.所以切点坐标为或-,-.故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+),即x+3y-2=0或x+3y+2=0.
