1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理课后篇巩固探究基础巩固1.(x+2)6的展开式中x3的系数是()A.20B.40C.80D.160解析(方法一)设含x3的为第r+1项,则Tr+1=C6rx6-r2r,令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为C6323=160.(方法二)根据二项展开式的通项公式的特点:二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为C6323=160.答案D2.对于二项式1x+x3n(nN*),有以下四种判断:存在nN*,展开式中有常数项;对任意nN*,展开式中没有常数项;对任意nN*,展开式中没有x的
2、一次项;存在nN*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.与B.与C.与D.与解析二项式1x+x3n的展开式的通项公式为Tk+1=Cnkx4k-n,由通项公式可知,当n=4k(kN*)和n=4k-1(kN*)时,展开式中分别存在常数项和一次项,故选D.答案D3.(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数是()A.840B.-840C.210D.-210解析在通项Tr+1=C10r(-2y)rx10-r中,令r=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数为C104(-2)4=840.答案A4.使得3x+1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析
3、3x+1xxn展开式中的第r+1项为Cnr(3x)n-rx-32r=Cnr3n-rxn-52r.若展开式中含常数项,则存在nN*,rN,使n-52r=0,故最小的n为5,故选B.答案B5.若二项式2x+ax7的展开式中1x3的系数是84,则实数a等于()A.2B.54C.1D.24解析二项展开式的通项Tr+1=C7r(2x)7-r(ax-1)r=27-rarC7rx7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5.令22a5C75=84,解得a=1.答案C6.若x0,设x2+1x5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.解析T3=C52x231x2=54x,T4=C53x221x3=
4、52x,故M+N=5x4+52x2258=522当且仅当5x4=52x时,等号成立.答案5227.已知21010+a(0a11)能被11整除,则实数a的值为.解析根据题意,由于21010+a=2(11-1)10+a,由于21010+a(0a0)的展开式中,x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是.解析A=C62(-a)2,B=C64(-a)4,由B=4A知,4C62(-a)2=C64(-a)4,解得a=2.a0,a=2.答案27.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.解析展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C7
5、3(-1)3+C83(-1)3=-121.答案-1218.已知(xcos +1)5的展开式中x2的系数与x+544的展开式中x3的系数相等,则cos =.解析(xcos+1)5展开式中x2的系数为C53cos2.x+544展开式中x3的系数为54C41.由题意可知C53cos2=54C41,cos2=12,cos=22.答案229.已知x-124xn的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明:展开式中没有常数项.(2)求展开式中所有的有理项.(1)证明由题意得2Cn112=1+Cn2122,即n2-9n+8=0,n=8(n=1舍去).Tk+1=C8k(x)8-k-124xk=-1
6、2kC8kx8-k2x-k4=(-1)kC8k2kx16-3k4(0k8,kZ).若Tk+1是常数项,则16-3k4=0,即16-3k=0,kZ,这不可能,展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当16-3k4为整数.0k8,kZ,k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.10.求0.9986的近似值,使误差小于0.001.解0.9986=(1-0.002)6=1+C61(-0.002)+C62(-0.002)2+C66(-0.002)6.由题意知T3=C62(-0.002)2=150.0022=0.000060.
7、001,且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001,故0.9986=(1-0.002)61-60.002=0.988.11.(选做题)已知数列an(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)求和:a1C20-a2C21+a3C22,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.解(1)a1C20-a2C21+a3C22=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.(2)归纳概括的结论为:若数列an是首项为a1,公比为q的等比数列,则a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+(-1)nan+1Cnn=a1(1-q)n,n为正整数.证明:a1Cn0-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+(-1)nan+1Cnn=a1Cn0-a1qCn1+a1q2Cn2-a1q3Cn3+(-1)na1qnCnn=a1Cn0-qCn1+q2Cn2-q3Cn3+(-1)nqnCnn=a1(1-q)n.
