1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2(nN*)B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2(nN*)D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2(nN*)解析观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(nN*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首
2、项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案B2.已知不等式1+,1+,1+,均成立,照此规律,第五个不等式应为1+()A.B.C.D.解析观察不等式的左边发现,第n(nN*)个不等式的左边=1+,右边=,所以第五个不等式为1+.答案C3.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,则第20行从左向右的第3个数为()A.193B.192C.174D.173解析由排列的规律可得,第n-1行结束的时候共排了1+2+3+(n-1)=个数,则第n行的第一个数字为+1,则第20行的第一个数字为191,故第20行从左向右的第3个数为
3、193.故选A.答案A4.已知数列an中,a1=1,an+1=(nN*),则可归纳猜想an的通项公式为()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.an=(nN*)D.an=(nN*)解析由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,由此可猜想an=(nN*).答案B5.设f(x)=,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则f2 020(2 020)等于()A.2 020B.-C.-D.解析由已知可得f1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2 020(x)=
4、f5054(x)=f4(x)=x,故f2 020(2 020)=2 020.答案A6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂;如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.只B.66只C.63只D.62只解析根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故选B.答案B7.如图,已知ABC的面积为4,连接ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角
5、形,依此类推,第2 021个三角形的面积为()A.B.C.D.解析观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的,设第n个三角形的面积为an,则数列an是首项为a1=4,公比为的等比数列,an=4n-1=n-2,第2 021个三角形的面积为a2 021=2 019=.故选C.答案C8.观察下列式子:1+,1+,1+,根据以上式子可以猜想:1+.解析由已知的式子:1+,1+,1+,可得1+.故1+.答案9.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+c
6、os212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解(1)选择式计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (c
7、os 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.故上式成立.证法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=-sin =1+sin 2-(1-cos 2)=1-cos 2-cos 2=1-.故上式成立.10.已知下列等式成立:,试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.解从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为;第2个等式左边有2项,右边为;第3个等式左边有3项,右边为;第4个等式左边有4项,右边为,由此可以归纳得出一般性的结论为+(nN*).以下用数列的方法证明该等式成立:+=+=+=.
