1、模块复习课MOKUAIFUXIKE第4课时导数及其应用课后篇巩固提升1.已知f(x)=x3-x2+6x-a,若对任意实数x,f(x)m恒成立,则m的最大值为()A.3B.2C.1D.-答案D解析f(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数x,f(x)m恒成立,即3x2-9x+(6-m)0恒成立,所以=81-12(6-m)0,解得m-,即m的最大值为-,故选D.2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D解析f(x)与-
2、f(-x)的图像关于原点对称,故x0(x00)是f(x)的极大值点时,-x0是-f(-x)的极小值点,故选D.3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)答案D解析由f(x)=k-,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,00,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(-2)=-0,因此函数f(x)零点的个数为1,故选B.5.若0x1x2ln x2-ln x1B.x1D.x2x1答案C解析令f(x)=,则f(x)=.当0x1时,f(x
3、)0,即f(x)在(0,1)上单调递减.0x1x21,f(x2)x1,故选C.6.曲线y=ln x-在x=1处的切线的倾斜角为,则sin+=.答案解析y=,y|x=1=3,则tan=300.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值;(2)讨论f(x)的单调性.解f(x)=exax2+(2a-2)x(a0).(1)由题意得f(2)=-1,解得a=.(2)令f(x)=0,得x1=0,x2=.当0a1时,f(x)的增区间为,(0,+),减区间为.9.已知函数f(x)=aex-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)
4、证明:当a时,f(x)0.解(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-.由题设知,f(2)=0,所以a=.从而f(x)=ex-lnx-1,f(x)=ex-.当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)在(0,2)上是减少的,在(2,+)上是增加的.(2)当a时,f(x)-lnx-1.设g(x)=-lnx-1,则g(x)=.当0x1时,g(x)1时,g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a时,f(x)0.10.设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a;(
5、2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解(1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.所以f(2)=(2a-1)e2.由题设知f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)由(1)得f(x)=(ax-1)(x-1)ex.当a=0时,令f(x)=0,得x=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)极大值f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a0时,令f(x)=0,得x1=,x2=1.当x1=x2,即a=1时,f(x)=(x-1)2ex0,f(x)在R上是增加的,f(x)无极值,不合题意.当x1x2,即0a1时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,1)1f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当x11时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值f(x)在x=1处取得极小值,即a1满足题意.当a0时,令f(x)=0,得x1=,x2=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x1(1,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+).
