1、集宁一中西校区2019-2020学年第一学期期末考试高二年级文科数学试题第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题；（2）“若xy，则x2y2”的逆否命题；（3）“若x3，则x2x60”的否命题；（4）“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】试题分析：根据四种命题的真假关系进行判断即可解：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题是若x2+y20，则xy0”错误，如当x=0，y=1时
2、，满足x2+y20，但xy=0，故命题为假命题（2）“若xy，则x2y2”为假命题，如当x=1，y=2，满足xy，但x2y2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题（3）“若x3，则x2x60”的否命题是若x3，则x2x60为假命题，如当x=4时，满足x3，但x2x60不成立，即命题为假命题（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题故真命题的个数是0个故选A2.的一个充分但不必要的条件是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求解不等式解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.【详解】由不等式，可得，解得，由此可得：选项A，是不等
3、式成立的一个充要条件；选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，故选B.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.命题“对任意，”的否定是A. 不存在，B. 存在，C. 存在，D. 对任意的，【答案】C【解析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定“对任意的，”的否定是:存在，选C.4.等差数列中，前项和满足，则()A. 7B. 9C
4、. 14D. 18【答案】B【解析】【分析】法一：利用等差数列的下标和性质即可求出；法二：利用待定系数法设出公差，再利用等差数列的通项公式即可以求出【详解】解法一：因为在等差数列中，所以，所以，故选B.解法二：设等差数列的公差为，因为在等差数列中，所以，整理得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用以及等差数列性质的应用5.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】试题分析：因为成等差数列，所以因为成等比数列，所以，由得，故选B.考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.6.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
5、】采用裂项相消法可直接求得结果.【详解】原式.故选：B.【点睛】本题考查裂项相消法求和的问题，属于基础题.7.曲线与曲线的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C【解析】试题分析：，因此焦距相等，故选C考点：椭圆的定义8.在中，内角，所对边分别是，若，且，则角的大小（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理由求出角，再利用余弦定理由求出角，由三角形内角和为即可求得角.【详解】由正弦定理得得，所以又，得所以故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.9.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A. 4B. C
6、. 2D. 【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值【详解】双曲线的，一个焦点设为，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题10.若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线经过点，即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数【详解】直线经过点，即为双曲线的右顶点，由于直线的斜率为，故直线不成立，而
7、双曲线的渐近线方程为，可得经过点与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点，故满足条件的直线有两条故选：B.【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题11.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得，进而可得，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案详解：根据题意，椭圆离心率为，则有，即，则双曲线的渐近线方程为，即，故选A点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，、的意义与相互间的关系.12.为坐标原点，为抛物线
8、的焦点，为上一点，若，则的面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设,则,解得,将 代入可得,所以的面积为=.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是利用抛物线的定义求P点的坐标;利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.第卷（非选择题
9、 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC中，A=，AB=2，AC=1，则 =_【答案】【解析】【分析】利用三角形的面积公式S=ABACsinA即可求得答案【详解】在ABC中，A=，AB=2，AC=1，ABC的面积S=ABACsinA=21=故答案为【点睛】本题考查三角形的面积公式，属于基础题14.已知函数在时取得最小值，则_【答案】【解析】试题分析：因为，所以，当且仅当即，由题意，解得考点：基本不等式【此处有视频，请去附件查看】15.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点则曲线C的方程为_【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的
10、焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程【详解】解：双曲线的渐近线方程为,由一条渐近线方程为,可得椭圆的焦点为,，可得由可得,即双曲线的方程为,故答案为:【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题16.斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为_.【答案】10【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长.【详解】因为焦点，所以，联立直线与抛物线可得：，所以即，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法：(1)直
11、接利用弦长公式：；(2)利用焦半径公式简化计算：.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；（2）由（1）求出，利用分组求和法求【详解】（1）由得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，（2）由（1）知的通项公式为；则所以【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题18.的内角、的对边分别为、，设.（1）求；（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.【答案】
12、（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.【解析】【分析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.【详解】（1），由余弦定理得，；（2）由余弦定理和基本不等式得，当且仅当时，等号成立，的面积.此时，由于，则是等边三角形.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.设椭圆过点(0,4)，离心率为 .(1)求椭圆的方程；(2)求过点(3,0)且斜率的直线被
13、椭圆C所截线段的中点坐标【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）椭圆C：+=1（ab0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标【详解】（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，b=4，由e=，得1=，a=5，椭圆C的方程为+=1（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x3），设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x3）代入椭圆C方程，整理得x23x8=0，由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x13）+（x23）=
14、（x1+x2）=由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为，所截线段的中点坐标为（，）考点：直线与圆锥曲线的综合问题20.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为(1)求双曲线方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）由题意可得，解方程可得，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，联立双曲线方程，可得的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值【详解】（1）双曲线的虚轴长为，离心率为，解得，双曲线的方程为.（2）由（1）知双曲线的右焦点为，设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，由
15、，得，其中，.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题21.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用公式代入计算得到答案.（2）先计算得到，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，所以当时，即，当时，所以，所以.（2），于是，由-，得，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.22.已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若，求点A的坐标；（2）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长.【答案】(1) 点A的坐标为或. (2) 线段AB的长是8【解析】解：由，得，其准线方程为，焦点. （2分）设，.（1）由抛物线的定义可知，从而.代入，解得. 点A的坐标为或. （6分）（2）直线l的方程为，即.与抛物线方程联立，得， （9分）消y，整理得，其两根为，且.由抛物线的定义可知，.所以，线段AB的长是8. （14分）
