1、模块复习课MOKUAIFUXIKE第3课时圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题课后篇巩固提升1.若直线y=x+m与椭圆=1相切,则实数m的值等于()A.6B.C.D.4答案B解析由消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,因此有=-8m2+48=0,解得m=.2.直线y=2x与双曲线-y2=1公共点的个数为()A.0B.1C.2D.4答案A解析双曲线-y2=1的渐近线方程为y=x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点.3.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线所围成矩形的面积等于()A.B.C.1D.答案A解析因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距
2、离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为,所以围成矩形的面积是.4.已知双曲线C:=1(a0,b0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点.若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1k2k3,则m的取值范围为()A.(0,3)B.(0,)C.D.(0,8)答案A解析因为e=2,所以b=a,设P(x,y),则=1,k1k2=3,又双曲线的渐近线为y=x,所以0k3,故0mb0)经过点A(2,1),离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.(1)求椭圆的方
3、程;(2)若|MN|=,求直线MN的方程.解(1)由题意有=1,e=,a2-b2=c2,解得a=,b=,c=,所以椭圆方程为=1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可设直线MN方程为y=k(x-3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,=24-24k20,得k21.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|MN|=,解得k=,满足k2b0)的半焦距为c,原点到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆的离心率;(2)如图,是圆:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.解(1)过点
4、(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点到直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e=.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段的中点,且|AB|=.易知,不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得,解得b2=3.故椭圆E的方程为=1.10.已知椭圆C
5、:=1(ab1)的焦距为4,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点(如图).(1)求椭圆C的方程.(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数,使得k1+k2=0?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为椭圆C:=1(ab0)的焦距为4,所以2c=4,解得c=2.因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x-3).联立方程消去y,得(1+9)x2+54x+81-9=0,解得点M的坐标为.同理,可解得点N的坐标为.由M,D,N三点共线,可得,化简得(k2-2k1)(9k1k2+1)=0.由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,即k1+k2=0,即存在=-,使得k1+k2=0.
