1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:xR,x1,则命题p为()A.xR,x1B.xR,x1C.xR,x-1D.xR,xb+d,q:ab且cdB.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a0且a1)的图像不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a1,q:f(x)=logax(a0且a1)在(0,+)上为增函数解析:由于ab,cda+cb+d,而a+cb+d却不一定推出ab,且cd.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a1,b1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过
2、第二象限时,有a1,b1.故B中p是q的充分不必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.答案:A6.(2017全国高考)若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)解析:由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a1,所以11+1a22.所以1e0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23
3、=1解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.答案:D9.若函数f(x)=x2+ax(aR),则下列结论正确的是()A.aR,f(x)在(0,+)上是增函数B.aR,f(x)在(0,+)上是减函数C.aR,f(x)是偶函数D.aR,f(x)是奇函数解析:f(x)=2x-ax2,故只有当a0时,f(x)在(0,+)上才是增函数,因此A,B不对;当a=0时,f(x)=x2是偶
4、函数,因此C对;D不对.答案:C10.(2017全国高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.答案:A11.若不等式2xln x-x2+ax-3对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围是()A.(
5、-,0)B.(-,4C.(0,+)D.4,+)解析:由2xlnx-x2+ax-3,得a2lnx+x+3x,设h(x)=2lnx+x+3x(x0),则h(x)=(x+3)(x-1)x2.当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以ah(x)min=4.故a的取值范围是(-,4.答案:B12.已知点P1,32是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足PA+PB=3PO,则直线AB的斜率为()A.-12B.-22C.12D.22解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),PA+PB=3PO,点P1,32,x1-1,y1-32+x2-1
6、,y2-32=3-1,-32,x1+x2=-1,y1+y2=-32.把A,B代入椭圆方程,得3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2).x1+x2=-1,y1+y2=-32,kAB=y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2)=-12.故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国高考)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=.解析:由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为
7、y=3ax.由题意得3a=35,解得a=5.答案:514.若命题“存在实数x1,2,使得ex+x2+3-m0”是假命题,则实数m的取值范围为.解析:命题“存在实数x1,2,使得ex+x2+3-m0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.解析:抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去
8、x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=22x.答案:y=22x16.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在-3,3上有最小值3,那么f(x)在-3,3上的最大值是.解析:f(x)=3x2+6x,令f(x)=0,得x=0或x=-2.又f(0)=a,f(-3)=a,f(-2)=a+4,f(3)=54+a,f(x)的最小值为a,最大值为54+a.由题可知a=3,f(x)的最大值为57.答案:57三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+50
9、,q:x2-2x+1-m20(m0).(1)若m=2,且pq为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q充分不必要条件,求实数m的取值范围.解(1)由x2-6x+50,得1x5,p:1x5.当m=2时,q:-1x3.若pq为真,p,q同时为真命题,则1x5,-1x3,即1x3.(2)由x2-2x+1-m20,得q:1-mx1+m.p是q充分不必要条件,1,51-m,1+m,m0,1-m1,1+m5,解得m4.实数m的取值范围为m4.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-43ax+b,f(1)=2,f(1)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.解(1
10、)f(x)=2ax-43a,由已知得f(1)=2a-43a=1,f(1)=a-43a+b=2,解得a=32,b=52,f(x)=32x2-2x+52.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+a16的定义域为R;命题q:不等式3x-9xa对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则有:当a=0时,定义域为x|x0,1-4aa160,a2或a2.因此,实数a的取值范围为(2,+
11、).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x1,y=t-t2.当t=1时,ymax=0,a0.若命题“pq”为真命题,且“pq”为假命题,则p,q一真一假.若p真q假,则a2,ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P.证明:OMOP为定值.(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,b2
12、=2,椭圆方程为x24+y22=1.(2)证明C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0.x1=-124(y02-8)y02+8,x1=-2(y02-8)y02+8,y1=8y0y02+8,OP=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8,OPOM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP.M
13、Q=(m-2,-y0),DP=-4y02y02+8,8y0y02+8,则由MQDP=0得-4y02y02+8(m-2)-8y02y02+8=0,从而得m=0,存在Q(0,0)满足条件.21.导学号01844064(本小题满分12分)(2017全国高考)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)单调递增.若a0;当x-12a,+时,f(x)0.故f(x)在0,-12a单调递增,在-12a,+单调递减.(2)由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点
14、E的坐标为(0,c),EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率;求椭圆的方程.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得12(c+a)c=b22.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0e0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标
15、为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=3c234=9c8,所以FQN的面积为12|FQ|QN|=27c232,同理FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
