1、第四讲直线、平面垂直的判定及性质题 组直线、平面垂直的判定及性质1.2017全国卷,10,5分文在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBD C.A1EBC1D.A1EAC2.2013新课标全国,4,5分已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且l B.且lC.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l3.2017北京,18,14分文如图8-4-1,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.()求证:PABD;图8-4-1()求证
2、:平面BDE平面PAC;()当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.4.2017山东,18,12分文由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图8-4-2所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.()证明:A1O平面B1CD1;()设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.图8-4-25.2016四川,17,12分文如图8-4-3,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.()在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;()证明:平面PA
3、B平面PBD.图8-4-36.2015新课标全国,18,12分文如图8-4-4,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.()证明:平面AEC平面BED;()若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.图8-4-47.2015湖北,20,13分文数学文化题九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图8-4-5所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.()证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是
4、,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;()记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.图8-4-5A组基础题1.2018南昌市高三调考,10 如图8-4-6,四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,ACBD,则下列结论不一定成立的是()图8-4-6A.PBACB.PD平面ABCDC.ACPDD.平面PBD平面ABCD2.2018南宁市摸底联考,16如图8-4-7,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合
5、,重合后的点记为H.下列说法错误的是(将符合题意的序号填到横线上).图8-4-7AGEFH所在平面;AHEFH所在平面;HFAEF所在平面;HGAEF所在平面.3.2018广东七校联考,19如图8-4-8,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为菱形,AD=2,DAB=60,E为AB的中点. 图8-4-8 (1)证明:平面PCD平面PDE;(2)若PD=3AD,求点E到平面PBC的距离.4.2018唐山市五校联考,19如图8-4-9,在四棱锥P-ABCD中,PC底面ABCD,ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC
6、平面PBC;(2)若PC=2,求三棱锥C-PAB的高.图8-4-95.2017成都市三诊,18如图8-4-10,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点,连接CM,DM,EM.(1)求三棱锥M-CDE的体积;(2)求证:DM平面ACE.图8-4-10B组提升题6.2018惠州市一调,19如图8-4-11,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B平面
7、EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.图8-4-117.2018辽宁五校联考,19如图8-4-12所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,EDA=90,且ED=AD=2AB=2AF.(1)证明:平面ABE平面EBD;(2)若三棱锥A-BDE的外接球的体积为823,求三棱锥A-BEF的体积.图8-4-128.2017南昌市三模,19如图8-4-13,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,平面PAB平面ABCD,PB=PC,ABC=45.(1)求证:ABPC;(2)若PAB是边长为2的等边三角形,求三棱锥P-ABC外接球的表面积.
8、图8-4-13答案1.C由正方体的性质,得A1B1BC1,B1CBC1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1,故选C.2.D由于m,n为异面直线,m平面,n平面,则平面与平面必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足lm,ln,则交线平行于l,故选D.3.()因为PAAB,PABC,ABBC=B,AB,BC平面ABC,PA平面ABC,所以PA平面ABC.因为BD平面ABC,所以PABD.()因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由()知,PABD,又PAAC=A,PA,AC平面PAC,BD平面PAC,所以BD平面PAC.又BD平面BDE,
9、所以平面BDE平面PAC.()因为PA平面BDE,PA平面PAC,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2.由()知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.4.()如图D 8-4-4,取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,图D 8-4-4由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C,又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.()因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中
10、点,所以EMAC,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.5.图D 8-4-5()取棱AD的中点M(M平面PAD),如图D 8-4-5,点M即所求的一个点.理由如下:因为ADBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)()
11、由已知,得PAAB,PACD,因为ADBC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交.所以PA平面ABCD.因为BD平面ABCD,所以PABD.连接BM,如图D 8-4-5所示,因为ADBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.6.()因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.因为BEBD=B,BE,BD平面BED,AC平面BED,所以AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.()设AB
12、=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AC=3x,BD=x,所以AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知,得三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63,解得x=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.7.()因为PD底面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,又PDCD=D,所以BC平面PCD.因为DE平面PCD,所
13、以BCDE.因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.因为PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.()由已知,知PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13S长方形ABCDPD=13BCCDPD;由()知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.A组基础题
14、1.B如图D 8-4-6,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.在四棱锥P-ABCD中,PAB与PBC是正三角形,平面PAB平面PBC,AOPB,COPB,AOCO=O,PB平面AOC,AC平面AOC,PBAC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD平面ABCD,则PDBD,由已知条件知点D满足ACBD且位于BM的延长线上,点D的位置不确定,PD与BD不一定垂直,PD平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,ACPB,ACBD,PBBD=B,AC平面PBD,PD平面PBD,ACPD,故选项C正确;对于选项D,AC平面PBD,AC平面ABCD,
15、平面PBD平面ABCD,故选项D正确.选B.图D 8-4-62.根据折叠前ABBE,ADDF可得折叠后AHHE,AHHF,可得AH平面EFH,即正确;过点A只有一条直线与平面EFH垂直,不正确;AGEF,AHEF,EF平面HAG,平面HAG平面AEF,过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,不正确;HG不垂直AG,HG平面AEF不正确,不正确,综上,说法错误的是.3.(1)PD底面ABCD,PDAB,连接DB,如图D 8-4-7,图D 8-4-7在菱形ABCD中,DAB=60,DAB为等边三角形,又E为AB的中点,ABDE,又PDDE=D,AB平面PDE.CDAB,CD平面PDE
16、.CD平面PCD,平面PCD平面PDE.(2)连接EC,如图D 8-4-7,AD=2,PD=23,在RtPDC中,PC=(23)2+22=4,同理PB=4,易知SPBC=12242-(22)2=15,SEBC=1212sin 120=32,设点E到平面PBC的距离为h,由VP-EBC=VE-PBC得,13SEBCPD=13SPBCh,解得h=155.点E到平面PBC的距离为155.4.(1)因为PC平面ABCD,AC平面ABCD,所以PCAC.因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,故ACBC.又BCPC=C,所以AC平面PBC.因为AC平面EAC,所以平
17、面EAC平面PBC.(2)由PC=2,PCCB,得SPBC=12(2)2=1.由题意易知RtPCARtPCBRtACB,所以PA=PB=AB=2,所以SPAB=1222sin 60=3.由(1)知,AC为三棱锥A-PBC的高,设三棱锥C-PAB的高为h,则13SPABh=13SPBCAC,即133h=1312,解得h=63,故三棱锥C-PAB的高为63.5.(1)如图D 8-4-8,记ACBD=O.底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,ACBD,且AC=23,BD=2.平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD,AC平面BDEF.DE=2,M为线段BF的中点,SDEM=12
18、22=2.VM-CDE=VC-DEM=13SDEMAC2=1323=233.图D 8-4-8 (2)连接OE,如图D 8-4-8所示.由(1),可知AC平面BDEF,ACDM.又由(1),知在矩形BDEF中,BD=DE=2,四边形BDEF为正方形.在正方形BDEF中,tanBDM=12,tanDOE=2.BDM+DOE=90,OEDM.ACOE=O,且AC,OE平面ACE,DM平面ACE.B组提升题6.(1)因为四边形ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2,在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB,同理AA1AD,又ABAD=A,所以AA1平面ABCD. (2)
19、当A1EED=1时,A1B平面EAC.证明如下:如图D 8-4-9,连接BD交AC于点O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,又A1B平面EAC,所以A1B平面EAC.图D 8-4-9直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离,因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,VD-EAC=VE-ACD ,设AD的中点为F,连接EF,则EFAA1,且EF=1,所以EF平面ACD,又ACD为边长为2的等边三角形,所以可求得SACD=3,所以VE-ACD=1313=33.又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以
20、SEAC=72,所以13SEACd=33(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=2217,所以直线A1B与平面EAC之间的距离为2217. 7.(1)平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,EDAD,ED平面ADEF,ED平面ABCD,AB平面ABCD,ABED,设AD=2a,则AB=a,又BAD=60,ABBD.又BDED=D,BD平面EBD,ED平面EBD,AB平面EBD,又AB平面ABE,平面ABE平面EBD.(2)由(1)得ADDE,ABBE,三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点.43(AE2)3=823,解得AE=22,则AD=ED=2,AB=AF=1,
21、VA-BEF=VB-AEF=13121232=36.8. (1)过点P作POAB于O,连接OC,如图D 8-4-10.图D 8-4-10平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,PO平面ABCD.POOC.PB=PC,RtPOBRtPOC,OB=OC.又ABC=45,OCAB.POCO=O,得AB平面POC,又PC平面POC,ABPC.(2)PAB是边长为2的等边三角形,PO=3,OA=OB=OC=1.PO平面ABCD,POOA=OB=OC,在线段PO上取点E,使EA=EB=EC,点E是三棱锥P-ABC外接球的球心,设外接球的半径为R.则EP=EC=R,EO=3-R,又EC2=OC2+EO2,R2=12+(3-R)2,解得R=233.三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4R2=163.
