1、5.1.2弧度制学 习 任 务核 心 素 养1了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点)3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点)1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养2借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.如图是一种折叠扇折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？知识点1角度制与弧度制(1)度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等
2、于周角的弧度制定义以弧度作为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角(2)弧度数的计算比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关(3)角度制与弧度制的换算1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)1弧度的角是周角的.()(2)1弧度的角大于1度的角()答案(1)(2)2.一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度023.(1) rad化为角度是_(2)105的弧度数是_(1)252(2)(1) rad252；(2)105105 rad rad.知识点2扇形的
3、弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：lR.(2)扇形面积公式：SlRR2.4.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长lR|13030(cm)()(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍()(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍()答案(1)(2)(3)5.半径为2，圆心角为的扇形的面积是_由已知得S扇22. 类型1角度与弧度的互化与应用【例1】(1)将11230化为弧度为_将rad化为角度为_(2)已知15， rad，1 rad，
4、105， rad，试比较，的大小(1)rad75(1)因为1rad，所以11230112.5 radrad.因为1 rad，所以rad75.(2)解法一(化为弧度)：1515 rad rad，105105 rad rad.显然1.故.法二(化为角度)： rad18，1 rad57.30，105.显然，151857.30105.故.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式 rad180是关键(2)方法：度数弧度数；弧度数度数(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度1(1)将15730化成弧度为_(2)将 rad化为度是_(1) rad(2)396(1)15730157.5
5、 rad rad.(2) rad396.2在0,4中，与72角终边相同的角有_(用弧度表示)，因为终边与72角相同的角为72k360(kZ)当k0时，72 rad；当k1时，432 rad，所以在0,4中与72终边相同的角有，. 类型2用弧度数表示角【例2】(1)终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是()ABCD(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合解(1)D因为角的终边经过点(a，a)(a0)，所以角的终边落在直线yx上，所以角的集合是.(2)解因为30 rad,210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k，kZ，而终边在y轴上的角
6、为k，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.1弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用. 3下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)CA，B中弧度与角度混用，不正确2，所以与终边相同31536045，所以315也与45终边相同故选C.4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的
7、角的集合解30 rad,150 rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是. 类型3弧长公式与扇形面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为8 cm.(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法解设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.(1)由题意得：2rl8，l2r，解得r2，l4，Slr4(cm2)(2)由2rl8得l82r，r(0,4)，则Slr(82r)r4rr2(r2)24，当r2时，Smax4，此时l4，圆心角2.扇形的弧长和面积的求解
8、策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是SlRR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，02)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解提醒：看清角的度量制，恰当选用公式5求半径为1 cm，圆心角为120的扇形的弧长及面积解因为r1，120，所以lr cm，Slr cm2.1与1角终边相同的角的集合是()A. B. C. D. C角度制与弧度制不能混用，故选C.2圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A radB radC radD ra
9、dB由弧度数公式|，得|，因此圆弧所对的圆心角是 rad.3(多选)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是 radB rad化成度是600C150化成弧度是 radD rad化成度是15ABD对于A,6060 rad rad；对于B， rad180600；对于C，150150 rad rad；对于D， rad18015.故选ABD.4若把570写成2k(kZ,02)的形式，则_.5704.5在直径为20 cm的圆中，150的圆心角所对的弧长为_150，弧长l.回顾本节知识，自我完成以下问题：1角度制与弧度制怎样转化？提示1rad,1rad.2角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？提示角度制弧度制弧长llr面积SSlrr2
