1、第六节双曲线A组基础题组1.双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2 C.3D.12.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是()A.5B.2C.2 D.523.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则C的渐近线方程为()A.y=14x B.y=13xC.y=12x D.y=x4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y
2、220=15.(2017课标全国,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=16.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.12B.22C.1D.27.(2017北京,10,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.8.(2018北京朝阳期末)已知双曲线C
3、的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是.9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1MF2=0;(3)在(2)的条件下,求F1MF2的面积.B组提升题组11.(2
4、016课标全国,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)12.已知l是双曲线C:x22-y24=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若PF1PF2=0,则点P到x轴的距离为()A.233B.2C.2 D.26313.已知双曲线x2a2-y2b2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5C.(5,+)D.5,+)14.(2017北京东城一模)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线x216-y29=
5、1的一条渐近线平行,那么k=.15.(2016北京西城二模)设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=22x,则其离心率为;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为.16.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.答案精解精析A组基础题组1.A由题意知双曲线的渐近线方程为y=3x,焦点坐标为(4,0),故焦点到渐近线的距离d=23.2.A由双曲线C:x2a2-y2b2=1
6、(a0,b0)的一条渐近线方程为y=2x,可得ba=2,e=ca=1+ba2=5.故选A.3.C由双曲线的离心率e=ca=52可知ba=12,而双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,故选C.4.A由题意可得ba=12,a2+b2=5,a0,b0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.5.B由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24-y25=k(k0),即x24k-y25k=1,双曲线与椭圆x212+y23=1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为x24-y25=1.故选B.6.C不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦
7、点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为c,b2a,c,-b2a,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以A1B=c+a,b2a,A2C=c-a,-b2a,因为A1BA2C,所以A1BA2C=0,即(c+a)(c-a)-b2ab2a=0,即c2-a2-b4a2=0,所以b2-b4a2=0,故b2a2=1,即ba=1,又双曲线的渐近线的斜率为ba,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.7.答案2解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.e=ca=1+b2a2=1+m1=3,m=2.8.答案x22-y22=1解析抛物线y2=8x的焦点为
8、(2,0),即双曲线C的焦点为(2,0),故c=2,因为双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,所以a=b,由c2=a2+b2得,a=b=2,故双曲线C的方程为x22-y22=1.9.解析(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线的方程为x2m2-y2n2=1,则a-m=4,713a=313m,解得a=7,m=3,b=6,n=2.椭圆的方程为x249+y236=1,双曲线的方程为x29-y24=1.(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=213,cosF
9、1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=102+42-(213)22104=45.10.解析(1)e=2,可设双曲线的方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6,双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3,故kMF1kMF2=-1,MF1MF2,即MF1MF2=0.证法二:由证法一知MF1=(-23-3,-m),MF
10、2=(23-3,-m),MF1MF2=(3+23)(3-23)+m2=-3+m2,点M在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0,MF1MF2=0.(3)F1MF2的底|F1F2|=43,由(2)知m=3.F1MF2的高h=|m|=3,SF1MF2=6.B组提升题组11.A原方程表示双曲线,且焦距为4,m2+n0,3m2-n0,m2+n+3m2-n=4,或m2+n0,3m2-n2,e=ca=1+ba21+4=5.14.答案34解析由题意知,双曲线x216-y29=1的渐近线方程为y=34x.由直线l:y=kx-1(k0)与双曲线x216-y29=1的一条渐近线平行,可得k=34.15.答案62;
11、x28-y24=1解析由题意知ba=22,b2a2=12,c2-a2a2=12.c2a2-1=12,e2-1=12,e=62.设双曲线方程为x24-y22=(0),点(4,2)在双曲线上,424-222=,=2,双曲线C的方程为x28-y24=1.16.解析(1)由题意知a=23,一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,|bc|b2+(23)2=3,b2=3,双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),OM+ON=tOD,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,所以y1+y2=12,点D在双曲线的右支上,x0y0=433,x0212-y023=1,x00,解得x0=43,y0=3,t=4,点D的坐标为(43,3).
