1、2021年四川省巴中市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知集合A1，0，1，2，Bx|x24x50，则AB（）A1，0B0，1C0，1，2D1，0，1，22复数在复平面内对应的点为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）3已知向量，若A，B，C三点共线，则实数t（）A4B5C4D54如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员在8次射击训练中的训练成绩，根据图中数据，下列描述中不正确的是（）A乙的成绩的众数为80B甲的成绩的中位数为83C甲、乙的平均成绩相同D乙的成绩比甲的成绩更稳定5设，则有（）AbcaBcbaCabcDcab6设a，b是两条
2、直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是（）Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，7若直线yxa与曲线yxlnxx相切，则a（）AB1CeDe28已知等比数列an的公比q0，前n项和为Sn，若a11，S45S2，则a5（）A16B12C8D49直线yx2与抛物线y2ax（a0）交于A，B两点，O为坐标原点，若OAOB，则a（）AB1CD210已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且a22a4，给出下列结论：a70；S3S8；Sn的最大值为S5；S110其中正确结论的个数为（）A4B3C2D111据我国古代数学名著九章算术记载：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱在如图
3、的“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，BC1，AA12，若四棱锥BA1ACC1体积为，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A8B12C16D3212已知定义域为R的函数f（x）满足，其中f（x）为f（x）的导函数，则当x0，2时，不等式f（cosx）cos2x0的解集为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若x，y满足约束条件，则z3x+2y的最大值为 14若数列an对任意nN*满足：a1+2a2+3a3+nann，则数列的前n项和为 15已知双曲线的右焦点为F（2，0），过点F垂直于渐近线的直线恰与圆x2+y2+4x0相切，则双曲线C的离心率为 16意大利画家达
4、芬奇在绘制抱银貂的女子时曾思索女子脖子上的黑色项链的形状对应的曲线是什么？即著名的“悬链线问题”.170年后约翰伯努利与莱布尼茨得到悬链线的解析式为，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，且，相应地双曲正弦函数为若直线xm与双曲余弦曲线C1和双曲正弦函数曲线C2分别相交于点A，B，给出如下结论：函数ysinhxcoshx为奇函数；（coshx）2（sinhx）21；函数ycoshx的最小值为2；|AB|随m的增大而减小其中所有正确结论的序号是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要
5、求作答.(一)必考题：共60分.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求ABC的外接圆直径；（2）求ABC周长的取值范围18为让中学生融入社会，更好地体验生活，某中学在2020年暑假组织开展了丰富多彩的社会综合实践活动，有一个综合实践活动小组以“冷饮销量与温度的关系”为主题开展调查研究，定点调研记录了某冷饮销售点的销售情况，对收集的数据经初步整理得到了如下数据表，并得知销量y与温度t间有线性相关关系数组序号12345温度t/摄氏度2931333537销量y/杯3034404651该小组确定的研究方案是：用这5组数据中任意3组数据求出线性回归方程，用另外2组数据进行检验（
6、1）用A表示事件“用于检验的2组数据的序号不相邻”，求事件A发生的概率；（2）根据第2，3，4三组数据，求出销量y关于温度t的线性回归方程由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2杯，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PAABAC2，ABC45，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点（1）证明：平面PBC平面ABE；（2）设三棱锥FACD的体积为V1，四棱锥CABEF的体积为V2，求的值20已知函数f（x）2exax2（aR）（1）若函数f（x）
7、在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当ae时，证明：函数f（x）有极大值（记为M），且2Me21已知椭圆左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），上顶点为B，直线BF1被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若BPBQ，求三角形BPQ的面积(二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为，（为参数，且0）（1）设直线l与曲线
8、C1的交点为M，N，求|MN|的值；（2）记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围23已知函数f（x）|x4|+|1x|，xR（1）解不等式：f（x）5；（2）记f（x）的最小值为m，若a0，b0，且a+bm，证明：参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知集合A1，0，1，2，Bx|x24x50，则AB（）A1，0B0，1C0，1，2D1，0，1，2解：集合A1，0，1，2，Bx|x24x50x|1x5，AB0，1，2故选：C2复数在复平面内对应的点为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）解：复数1+i复数在复平面内对应的点为（1
9、，1）故选：B3已知向量，若A，B，C三点共线，则实数t（）A4B5C4D5解：向量，若A，B，C三点共线，则存在实数x，使x+（1x），即，解得x1，t4故选：A4如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员在8次射击训练中的训练成绩，根据图中数据，下列描述中不正确的是（）A乙的成绩的众数为80B甲的成绩的中位数为83C甲、乙的平均成绩相同D乙的成绩比甲的成绩更稳定解：由茎叶图中数据知，乙的成绩出现次数最多的是80，所以众数为80，选项A正确；甲的成绩从小到大排列为78，79，81，82，84，88，93，95，计算中位数是（82+84）83，选项B正确；计算甲的平均数是（78+79+81+8
10、2+84+88+93+95）83.75，乙的平均数是（75+80+80+83+85+90+92+95）83.75，所以两名射击运动员的平均成绩相同，选项C正确；8次射击训练中甲的成绩主要集中在80附近，且极差为17，波动性相对小些，乙的成绩也集中在80附近，但极差为20，波动性大些，所以甲的成绩更稳定，选项D错误故选：D5设，则有（）AbcaBcbaCabcDcab解：y2020x 为增函数，202001，ylog2021x 为增函数， log20212020log202120211，sin2021sin（3606139）sin1390，cba故选：B6设a，b是两条直线，是两个平面，则ab的
11、一个充分条件是（）Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，解：Aa，b，a与b可能：ab、相交或为异面直线，因此不是ab的一个充分条件；Ba，b，可得ab，反之不一定成立，因此a，b，是ab的一个充分不必要条件；Ca，b，可得ab或为异面直线，因此不是ab的一个充分条件；Da，b，a与b可能：ab、相交或为异面直线，因此不是ab的一个充分条件故选：B7若直线yxa与曲线yxlnxx相切，则a（）AB1CeDe2解：设切点P（x0，y0），由yxlnxx，得ylnx，则，解得故选：C8已知等比数列an的公比q0，前n项和为Sn，若a11，S45S2，则a5（）A16B12C8D4解：由a11，S
12、45S2，得5，即q45q2+40，显然q1所以解得q2（舍去）或q2，所以a5a1q412416故选：A9直线yx2与抛物线y2ax（a0）交于A，B两点，O为坐标原点，若OAOB，则a（）AB1CD2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得y2ay2a0，则y1+y2a，y1y22a，OAOB，所以数量积0，x1x2+y1y20，所以x1x24，4+（2a）0，a2，故选：D10已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且a22a4，给出下列结论：a70；S3S8；Sn的最大值为S5；S110其中正确结论的个数为（）A4B3C2D1解：等差数列an的d0，所以ana1
13、+（n1）d，Sna1n+d，因为a2a1+d，a4a1+3d，a22a4，所以a1+d2（a1+3d），化简得a15d，对于：a7a1+6d5d+6dd0，故不正确；对于：Sn（5d）n+dn2dn，对称轴n，所以S3S8，故正确；对于：由上可知，当n5或6时，Sn有最小值，故不正确；对于：S11dd0，故正确故选：C11据我国古代数学名著九章算术记载：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱在如图的“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，BC1，AA12，若四棱锥BA1ACC1体积为，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A8B12C16D32解：由题意，四棱锥BA1ACC1体积V
14、12AC，解得AC则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的直径为A1B，该“堑堵”的外接球的表面积为S48故选：A12已知定义域为R的函数f（x）满足，其中f（x）为f（x）的导函数，则当x0，2时，不等式f（cosx）cos2x0的解集为（）ABCD解：根据题意，设g（x）f（x）2x2+1，则g（x）f（x）4x，又由f（x）4x0，则g（x）0恒成立，故g（x）在R上为增函数，又由f（），则g（）f（）2（）2+10，故g（x）0的解集为，+），不等式f（cosx）cos2x0，变形可得f（cosx）2cos2x+10，即g（cosx）0，则有cosx，又由x0，2，则x，故选：D二、填空题
15、：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若x，y满足约束条件，则z3x+2y的最大值为6解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z3x+2y得yx+z，平移直线yx+z，由图象知当直线yx+z经过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大，最大值为z326，故答案为：614若数列an对任意nN*满足：a1+2a2+3a3+nann，则数列的前n项和为 解：由a1+2a2+3a3+nann，得a1+2a2+3a3+（n1）an1n1（n2），两式相减得nan1，所以an（n2），且a11满足上式；所以，令数列的前n项和为Tn，则Tn1+1故答案为：15已知双曲线的右焦点为F（2，0）
16、，过点F垂直于渐近线的直线恰与圆x2+y2+4x0相切，则双曲线C的离心率为 2解：双曲线的右焦点为F（2，0），所以c2，圆x2+y2+4x0的圆心（2，0），半径为2，过点F垂直于渐近线的直线恰与圆x2+y2+4x0相切，可得直线方程为：y0（x2），即ax+by2a0，（或axby2a0），可得，解得a1，所以双曲线的离心率为：e2故答案为：216意大利画家达芬奇在绘制抱银貂的女子时曾思索女子脖子上的黑色项链的形状对应的曲线是什么？即著名的“悬链线问题”.170年后约翰伯努利与莱布尼茨得到悬链线的解析式为，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，且，相应地双曲正弦函数为若直线xm
17、与双曲余弦曲线C1和双曲正弦函数曲线C2分别相交于点A，B，给出如下结论：函数ysinhxcoshx为奇函数；（coshx）2（sinhx）21；函数ycoshx的最小值为2；|AB|随m的增大而减小其中所有正确结论的序号是 解：对于：因为sinh（x）sinhx，cosh（x）coshx，所以g（x）sinh（x）cosh（x）sinhxcoshxg（x），故正确；对于：（coshx）2（sinhx）2（）2（）21，故正确；对于：ycoshx1当且仅当exex，即ex1时，取等号，故不正确；对于：由题意可得A（m，），B（m，），所以|AB|em，随着m的增大而减小，故正确；故答案为：三、
18、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求ABC的外接圆直径；（2）求ABC周长的取值范围解：（1），由正弦定理，可得，A（0，），sinA0，化简可得，B（0，），由正弦定理可得，ABC的外接圆直径2R（2）由（1）可知，B，由余弦定理可得，b2a2+c2ac，b2（a+c）23ac，当且仅当ac时，等号成立，（a+c）23，即，又，ABC的取值范围为18为让中学生融入社会，更好地体验生活，某中学在20
19、20年暑假组织开展了丰富多彩的社会综合实践活动，有一个综合实践活动小组以“冷饮销量与温度的关系”为主题开展调查研究，定点调研记录了某冷饮销售点的销售情况，对收集的数据经初步整理得到了如下数据表，并得知销量y与温度t间有线性相关关系数组序号12345温度t/摄氏度2931333537销量y/杯3034404651该小组确定的研究方案是：用这5组数据中任意3组数据求出线性回归方程，用另外2组数据进行检验（1）用A表示事件“用于检验的2组数据的序号不相邻”，求事件A发生的概率；（2）根据第2，3，4三组数据，求出销量y关于温度t的线性回归方程由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均
20、不超过2杯，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：解：（1）从5组数据中任选两组数据，共有种不同的选法，两组数据不相邻为13、14、15、24、25、35共6种不同选法，则事件A发生的概率P；（2），y关于t的线性回归方程为当t29时，有|3028|2，当t37时，有|5152|12，回归方程是可靠的19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，PAABAC2，ABC45，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点（1）证明：平面PBC平面ABE；（2）设三棱锥FACD的体积为V1，四棱锥CABEF的体积为V2，求的值【解
21、答】（1）证明：因为ABAC，ABC45，所以ABAC，因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，因为ACPAA，AC平面PAC，PA平面PAC，所以AB平面PAC，由PC平面PAC，所以ABPC，连接AE，由PAAC且PEEC，所以AEPC，又AEABA，AB，AE平面ABE，所以PC平面ABE，因为PCPBC，所以平面PBC平面ABE（2）由四边形ABCD是平行四边形，可得ABCD，又AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB平面PCD，因为平面ABE平面PCDEF，所以ABEF，所以PFFD，EFCD1，所以V1VPACDACCDPA，又由（1）可知，AEEF，CE平面ABEF
22、，所以V2SABEFCECE1，所以20已知函数f（x）2exax2（aR）（1）若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当ae时，证明：函数f（x）有极大值（记为M），且2Me【解答】（1）解：函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，则f（x）0在（0，1）上恒成立，即exax0在（0，1）上恒成立，则在（0，1）上恒成立，令g（x），则0在（0，1）上恒成立，所以g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）g（1）e，所以ae，故实数a的取值范围为（，e；（2）证明：当ae时，f（x）2（exa），令f（x）0，可得xlna，当xlna时，f（x）0，则f（x）单
23、调递减，当xlna时，f（x）0，则f（x）单调递增，又f（x）20，且f（1）2（ea）0，所以f（x）在（，lna）内有唯一的零点x1，且0x11，当xx1时，f（x）0，当x1xlna时，f（x）0，所以f（x）有唯一的极大值点x1，故Mf（x1），且Mf（0）2，因为ae，所以M，设F（x）2exex2，0x1，由（1）可知，F（x）在（0，1）上单调递增，所以F（x）F（1）e，故2Me21已知椭圆左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），上顶点为B，直线BF1被椭圆C截得的线段长为（1）求椭圆C的方程；（2）设过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若BPBQ，求三角形BPQ的
24、面积解：（1）设直线BF1与椭圆的交点为A（x0，y0），上顶点B（0，b），直线BF1 的方程为ybx+b，联立直线与椭圆方程，解得，由椭圆的弦长公式，可得|BD|，解得a22，c1，b2a2c2211，椭圆C的方程为（2）由（1）及题意，直线l不经过点B且与x轴不重合，设直线l的方程为xmy+1（m1），P（my1+1，y1），Q（my2+1，y2），BPBQ，（my1+1）（my2+1）+（y11）（y21）0，即（m2+1）y1y2+（m1）（y1+y2）+20 ，联立直线与椭圆方程，整理，可得（m2+2）y2+2my10，b24ac8（m2+1）0 恒成立，由韦达定理，可得，代入式，
25、可得，m22m30，m1，m3，直线l的方程为x3y10，由弦长公式，可得|PQ|，点B（0，1）到直线l的距离d，(二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为，（为参数，且0）（1）设直线l与曲线C1的交点为M，N，求|MN|的值；（2）记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围解：（1）曲线C1的极坐标方程为，展开：2（cos+sin），22（cos+sin），
26、可得直角坐标方程：x2+y22x+2y，配方为：（x1）2+（y1）22，可得C1（1，1），半径r由直线l的参数方程为（t为参数），相加可得：x+y1圆心到直线的距离d，+，解得|MN|（2）直线l与x轴，y轴分别交于A（1，0），B（0，1）两点，（1，1）点P在曲线C2上，可设：P（2cos，2sin），（2cos，2sin1），2cos+2sin12sin（）1，0，sin（），1，2sin（）123已知函数f（x）|x4|+|1x|，xR（1）解不等式：f（x）5；（2）记f（x）的最小值为m，若a0，b0，且a+bm，证明：解：（1）f（x）|x4|+|1x|x4|+|x1|，则f（x）5等价于或或，解得0x1或1x4或4x5综上，不等式f（x）5的解集为x|0x5；证明：（2）由（1）知，f（x）的最小值为3，即m3，则a+b3，证明：（2）由a0，b0，知a+20，b+10，当且仅当a1且b2时等号成立
