1、江苏省南京市六校联合体2020届高三数学下学期5月联考试题(满分160分，考试时间120分钟)20205一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x22x0，Bx|x1，则AB_2. 已知复数z(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，a为实数，则_3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_(第3题)4. 运行如图所示的伪代码，则输出S的值为_S0I1While I0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为_9. 已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x
2、轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点若F1F2AB，则双曲线的渐近线方程为_10. 如图，五边形ABCDE由两部分组成，ABE是以角B为直角的直角三角形，四边形BCDE为正方形，现将该图形以AC为轴旋转一周，构成一个新的几何体若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_11. 在平行四边形ABCD中，AD2AB6，DAB60，.若2，则_12. 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a3bcos C，则的最小值为_13. 已知圆O：x2y24，点A(2，2)，直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足 2.若AE22AP248，则弦PQ中点M的横坐标
3、的取值范围是_14. 若函数f(x)(x33a2x2a)(ex1)的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aasin(B)(1) 求角B的大小；(2) 若a2，c3，求sin(AC)的值16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，平面ACC1A1平面BCC1B1，M是棱CC1上的一点(1) 求证：BCAM；(2) 若N是AB的中点，且CN平面AB1M，求证：M是棱CC
4、1中点17. (本小题满分14分)疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC与扇形OCD组成，OA30米，AB50米，COD，经营者决定在O点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角EOF，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设FOC.(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于的函数关系式，并求出tan 的取值范围；(2) 求监控区域面积S最大时，角的正切值18. (本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1，点A，B为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上一点，且直线PF1的倾斜角为，PF12，椭圆的离心率为.(1) 求椭圆C的方程；(2)
5、设M，N为椭圆上异于A，B的两点，若直线BN的斜率等于直线AM斜率的2倍，求四边形AMBN面积的最大值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，g(x)ex.(1) 若ab1，c1，求函数h(x)在x1处的切线方程；(2) 若a1，且x1是函数m(x)f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间；(3) 若b2a，c2，且对任意x0，2x2恒成立，求实数a的取值范围20. (本小题满分16分)设数列an(任意项都不为零)的前n项和为Sn，首项为1，对于任意nN*，满足Sn.(1) 求数列an的通项公式；(2) 是否存在k，m，nN*(km0)，若由bn的
6、前r项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r的最大值2020届高三模拟考试试卷(十三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C：1在矩阵A对应的变换作用下所得曲线C的方程B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程C. (选修45：不等式选讲)已知正数a，b，c满足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值【必做题】 第2
7、2，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1) 求异面直线A1M与C1E所成角的余弦值；(2) 求二面角AMA1N的平面角的正弦值23. 已知数列an满足anm，nN*，其中m为常数，a24.(1) 求m，a1的值；(2) 猜想数列an的通项公式，并证明2020届高三模拟考试试卷(南京)数学参考答案及评分标准1. (，2)2. 4i3. 4. 255. 6. 87. 38. 9. yx10. 11. 2112. 13. (，
8、)14. 1，0)(0，115. 解：(1) 在ABC中，由正弦定理，及bsin Aasin(B)，得sin Bsin Asin Asin(B)(2分)由A(0，)时，sin A0，可得sin Bsin(B)，展开得sin Bsin cos Bcos sin B，即sin Bcos B(4分)又由B(0，)，得sin B0，从而cos B0，从而有tan B，可得B.(6分)(2) 在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.(7分)由，得，解得sin A.因为ab0)的离心率为，所以ac.设椭圆右焦点为F2，在F1PF2中，PF12，PF1F2，由余弦定理
9、得(2a2)222(2c)222c2cos ，解得c，则a2，b，所以椭圆的方程为1.(4分)(2) (解法1)设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为yk(x2)，联立整理得(2k21)x28k2x8k240，64k44(2k21)(8k24)0.设M(x1，y1)，则2x1，即x1，从而y1.(8分)由kBN2kAM，可得直线BN的方程为y2k(x2)，联立整理得(8k21)x232k2x32k240，322k44(8k21)(32k24)0.设N(x2，y2)，则2x2，即x2，从而y2.(12分)由对称性，不妨设k0，则四边形AMBN的面积S4(y1y2)2()24242424.令t4
10、k，则t24(当且仅当k时取等号)，则S，故S的最大值为.(16分)(解法2)设M(x1，y1)，则y(4x)，A(2，0)，B(2，0)，则kMAkMB.(6分)由kBN2kMA，故kBNkBM1.(7分)设直线MN的方程为xmyt，联立整理得(m22)y22mtyt240，即t22m24.设N(x2，y2)，则y1y2，y1y2.(9分)由kBNkBM1，得y1y2x1x22(x1x2)40，将y1y2，y1y2代入整理得(m21)(t2)2m2t(t2)(m22)0，即t，满足t21，即b0解得x(，1)或x(b3，)，由m(x)0解得x(1，b3)；当b34时，由m(x)0解得x(，b
11、3)或x(1，)，由m(x)0解得x(b3，1)(7分)综上，当b4时，m(x)的单调递增区间为(，b3)和(1，)，单调递减区间为(b3，1)(8分)(3) 因为b2a，c2，所以2x2对任意x0恒成立，即ax22ax2(2x2)ex0对任意x0恒成立令p(x)ax22ax2(2x2)ex，p(0)0，由p(1)3a24e0得a.(9分)p(x)2a(x1)2(x2)ex.当a0时，对任意x0，p(x)0，所以函数yp(x)在0，)上单调递减，故p(x)p(0)0，得a0符合题意(10分)当0a时，令G(x)p(x)2a(x1)2(x2)ex，则G(x)2a2(x3)ex，当x0时，2(x3
12、)ex6，2a2(x3)ex60，所以对任意x0，G(x)0，得函数yG(x)在0，)上单调递减，所以G(x)G(0)2a4.当2a40，即0a2时，对任意x0，G(x)p(x)0，得函数yp(x)在0，)上单调递减，所以，对任意x0，p(x)p(0)0恒成立，得00，即20，G(1)4a6e0，得G(0)G(1)0，所以函数yp(x)在(0，x0)上单调递增，故当x(0，x0)时p(x)0，与题意不符综上，实数a的取值范围是a2.(16分)20. 解：(1) 数列an是非零数列，所以an0.当n1时，a1S1，a22；当n2，nN*时，anSnSn1，所以an1an12，(2分)所以a2n1
13、是首项为1，公差为2的等差数列，a2n是首项为2，公差也为2的等差数列，a2n1a12(n1)2n1，a2na22(n1)2n，所以ann.(4分)(2) 设k，m，nN*(km8，0k，kN*.(8分)因此，k1，m2，n4，kmn7.(9分)(3) 若bn是单调递增数列，所以当n是偶数，n1qn1n1恒成立，两边取自然对数，化简可得ln q1.(11分)设函数f(x)，求导f(x)0，xe，当0x0，所以f(x)是增函数；当xe时，f(x)0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在xe处取极大值所以，当n4时是递减数列，.(13分)设函数g(x)，求导g(x)；当n8时，3，(*)式成立，当
14、n8时(*)式右侧不等式不成立所以，至多前8项是递增数列，即正整数r的最大值是8.(16分)2020届高三模拟考试试卷(南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设P(x，y)是曲线C上的任一点，它是椭圆C：1上的点P1(x，y)在矩阵A对应变换作用下的对应点，则，(4分)即所以(6分)将代入1，得x2y21.(10分)B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系(1分)由直线sin()得sin cos ，yx，即yx.(4分)直线与x轴的交点为(1，0)又点P的直角坐标为(1，1)，圆C的方程为(x1)2y21.(6分) x2y22x0，22cos 0， 0或2c
15、os .又0表示极点也在圆上，圆的极坐标方程为2cos .(10分)C. 解：因为(a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)3332727，(6分)当且仅当abc1时，等号成立，所以(a2)(b2)(c2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，所以BAD60.由E为BC的中点，可得DEBC.又ADBC可得DEAD.以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分)则A1(2，0，4)，M(1，2)，C1(1，4)，E(0，0)，(1，2)，(1，0，4)，cos，.所以，异面直线A1M与C1
16、E所成角的余弦值为.(4分)(2) N(1，0，2)，(0，0，4)，(1，2)，(1，0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1，0)(6分)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2，0，1)(8分)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.(10分)23. 解：(1) 因为anm，所以a2m34，所以m1，此时a12.(2分)(2) 猜想：an2n.证明如下：(3分)当n1时，由上知结论成立；(4分)假设nk时结论成立，则有ak12k.则nk1时，ak11.由CCC得ak112k，ak12k(C)2k(C)(7分)又CC2k(C)，于是ak12kak1，所以ak12k1，故nk1时结论也成立由得an2n，nN*.(10分)
