1、课时跟踪检测(四) 数学归纳法一、基本能力达标1设f(n)1(nN),那么f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.解析:选D要注意末项与首项,所以f(n1)f(n).2在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时,第一步验证的n0()A1 B3C5D7解析:选Cn的取值与2n,n2的取值如下表:n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度,故当n4,即n5时,恒有2nn2.3一个与正整数n有关的命题,当n2时命题成立,且由nk 时命题成立可以推得nk2时命题也成立,则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有
2、的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析:选B由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立,又n2时命题成立,根据逆推关系,该命题对于所有的正偶数都成立,故选B.4用数学归纳法证明不等式的过程中,由nk到nk1时,不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加,减少D增加,减少解析:选C当nk时,不等式的左边,当nk1时,不等式的左边,又,所以由nk到nk1时,不等式的左边增加,减少.5对于不等式 n1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n1时, 11,不等式成立(2)假设当nk(kN*)时,不等式成立,即 k1,则当nk1时, (k1)1,nk1时,不等式成
3、立,则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析:选D在nk1时,没有应用nk时的归纳假设,故选D.6用数学归纳法证明,推证当nk1时等式也成立时,只需证明等式_成立即可解析:当nk1时,故只需证明即可答案:7数列an满足an0(nN),Sn为数列an的前n项和,并且满足Sn,求S1,S2,S3的值,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明解:由an0,得Sn0,由a1S1,整理得a1,取正根得a11,所以S11.由S2及a2S2S1S21,得S2,整理得S2,取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用数学归纳法证明如下:(1)当n1时,上面已求
4、出S11,结论成立(2)假设当nk(kN)时,结论成立,即Sk.那么,当nk1时,Sk1.整理得Sk1,取正根得Sk1.即当nk1时,结论也成立由(1)(2)可知,对任意nN,Sn都成立8用数学归纳法证明11n(nN)解:(1)当n1时,左式1,右式1,且1,命题成立(2)假设当nk(nN)时,命题成立,即11k,则当nk1时,112k1.又1k2k(k1),即当nk1时,命题成立由(1)和(2)可知,命题对所有的nN都成立二、综合能力提升1凸n边形有f(n)条对角线,则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2解析:选C增加一个顶点,就增加n
5、13条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.2用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确,再推n2k3正确B假设n2k1时正确,再推n2k1正确C假设nk时正确,再推nk1正确D假设nk(k1),再推nk2时正确(以上kN)解析:选B因为n为正奇数,据数学归纳法证题步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题即假设n2k1正确,再推第(k1)个正奇数即n2k1正确3设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1
6、)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析:选C当nk1时,任取其中1条直线记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)4用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下:当n1时,左边201,右边2111,等式成立假设nk(k1,且kN*)时,等式成立,即12222k12k1.则当nk1时,12222k
7、12k2k11,所以当nk1时,等式也成立由知,对任意nN*,等式成立上述证明中的错误是_解析:由证明过程知,在证从nk到nk1时,直接用的等比数列前n项和公式,没有用上归纳假设,因此证明是错误的答案:没有用归纳假设5观察下列等式:11,2349,3456725,4567891049.照此规律下去:(1)写出第五个等式;(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想解:(1)第5个等式为5671381.(2)猜想第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2,用数学归纳法证明如下:当n1时显然成立;假设nk(k1,kN*)时也成立,即k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2,那么
8、当nk1时,左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)4k215k(3k1)3k(3k1)4k24k12(k1)12,而右边2(k1)12,这就是说nk1时等式也成立根据知,等式对任何nN*都成立6已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数n2,数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项;(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解:(1)已知a11,由题意,得a1a222,a222.a1a2a332,a3.同理,可得a4,a5.因此这个数列的前5项分别为1,4,.(2)观察这个数列的前5项,猜测数列的通项公式应为:an下面用数学归纳法证明当n2时,an.当n2时,a222,结论成立假设当nk(k2,kN*)时,结论成立,即ak.a1a2ak1(k1)2,a1a2ak1akak1(k1)2,ak1.这就是说当nk1时,结论也成立根据可知,当n2时,这个数列的通项公式是an.这个数列的通项公式为an