1、课时跟踪检测（四） 数学归纳法一、基本能力达标1设f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.解析：选D要注意末项与首项，所以f(n1)f(n).2在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0()A1 B3C5D7解析：选Cn的取值与2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4，即n5时，恒有2nn2.3一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk 时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有
2、的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析：选B由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又n2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少解析：选C当nk时，不等式的左边，当nk1时，不等式的左边，又，所以由nk到nk1时，不等式的左边增加，减少.5对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时， (k1)1，nk1时，不等式成
3、立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：选D在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，故选D.6用数学归纳法证明，推证当nk1时等式也成立时，只需证明等式_成立即可解析：当nk1时，故只需证明即可答案：7数列an满足an0(nN)，Sn为数列an的前n项和，并且满足Sn，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明解：由an0，得Sn0，由a1S1，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2及a2S2S1S21，得S2，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，上面已求
4、出S11，结论成立(2)假设当nk(kN)时，结论成立，即Sk.那么，当nk1时，Sk1.整理得Sk1，取正根得Sk1.即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，对任意nN，Sn都成立8用数学归纳法证明11n(nN)解：(1)当n1时，左式1，右式1，且1，命题成立(2)假设当nk(nN)时，命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN都成立二、综合能力提升1凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2解析：选C增加一个顶点，就增加n
5、13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3正确B假设n2k1时正确，再推n2k1正确C假设nk时正确，再推nk1正确D假设nk(k1)，再推nk2时正确(以上kN)解析：选B因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第(k1)个正奇数即n2k1正确3设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1
6、)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：选C当nk1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)4用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k
7、12k2k11，所以当nk1时，等式也成立由知，对任意nN*，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从nk到nk1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设5观察下列等式：11，2349，3456725，4567891049.照此规律下去：(1)写出第五个等式；(2)你能作出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想解：(1)第5个等式为5671381.(2)猜想第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，用数学归纳法证明如下：当n1时显然成立；假设nk(k1，kN*)时也成立，即k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2，那么
8、当nk1时，左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1)4k215k(3k1)3k(3k1)4k24k12(k1)12，而右边2(k1)12，这就是说nk1时等式也成立根据知，等式对任何nN*都成立6已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此这个数列的前5项分别为1,4，.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，结论成立假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1.这就是说当nk1时，结论也成立根据可知，当n2时，这个数列的通项公式是an.这个数列的通项公式为an