1、第34讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2017山东卷，32017浙江卷，32016全国卷，162016江苏卷，4对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题.分值：5分1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)_不包括_边界直线
2、，把边界直线画成虚线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)_包括_边界直线，把边界直线画成实线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足AxByC0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足_AxByC0_.(3)可在直线AxByC0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的_符号_就可以判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的_公共部分_.2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的_不等式(组
3、)_线性约束条件由x，y的_一次_不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数欲求_最大值_或_最小值_的函数线性目标函数关于x，y的_一次_解析式可行解满足_线性约束条件_的解(x，y)可行域所有_可行解_组成的集合最优解使目标函数取得_最大值_或_最小值_的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_最大值_或_最小值_问题1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axb
4、yz0在y轴上的截距()解析 (1)错误当B0时，不等式AxByC0表示的平面区域在直线AxByC0的下方(2)错误当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域(3)正确当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多(4)错误目标函数zaxby(b0)中，是直线axbyz0在y轴上的截距2点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则(B)Aa7或a24B7a24Ca7或a24D以上都不对解析 依题意，(92a)(1212a)0，解得7a1.一二元一次不等式(组)表示的平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特
5、殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(A)ABCD(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(B)A3B1CD3解析 (1)两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0,0)点在直线x2y20右下方，可知x2y20，又(0,0)点在直线xy10左下方可知xy10.即为所表示的可行域(2)作
6、出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC(22m)(1m).解得m1或m3(舍去)二线性目标函数的最值问题(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分
7、离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数(3)利用可行域及最优解求参数及其范围利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围【例2】 (1)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为(B)A4B6C10D17(2)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(D)A或1B2或C2或1D2或1解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)当直线2x5yz0过点A(3,0)时，zmin23506.故选B(2)作出可行域(如图所示的ABC及其内部)由题设zyax
8、取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合又kAB1，kAC2，kBC，a1或a2或a，验证：a1或a2时，满足题意；a时，不满足题意，故选D三非线性目标函数的最值问题非线性目标函数常见类型的几何意义(1)(xa)2(yb)2为点(x，y)与点(a，b)距离的平方(2)为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)|AxByC|是点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍【例3】 设x，y满足条件(1)求ux2y2的最大值与最小值；(2)求v的最大值与最小值；(3)求z|2xy4|的最大值与最小值解析 画出满足条件的可行域，如图所示(1)x2y2u表示一组同
9、心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图象可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小又C(3,8)，所以umax73，umin0.(2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知，kBD最大，kCD最小又因为C(3,8)，B(3，3)，所以vmax，vmin4.(3)因为z|2xy4|表示可行域内点P(x，y)到直线2xy40的距离的倍，由图象知A到直线2xy40的距离最小，C到直线2xy40的距离最大又因为A，C(3,8)，故当x，y时，zmin.当x3，y8时，zmax18.四线性规划的实际应用解
10、线性规划应用题的一般步骤第一步：分析题意，设出未知量；第二步：列出线性约束条件和目标函数；第三步：作出可行域并利用数形结合求解；第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案【例4】 (2016天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条
11、件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解析 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20,24)所以zmax220324112.故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润
12、为112万元1(2017浙江卷)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是(D)A0,6B0,4C6，)D4，)解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x2y0，可知，直线zx2y过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D2若实数x，y满足不等式组目标函数tx2y的最大值为2，则实数a的值是(D)A2B0C1D2解析 可行域为ABC及其内部，如图所示由图可知，当目标函数tx2y过点A时有最大值，由直线x2y2与直线x20的交点坐标为(2,0)，代入直线x2ya0，得a2，故选D3已知实数x，y满足则k的最大值为(C)ABC1D解析 如图，不等式组表示的平面区域为AOB的边界及其内部区域，
13、k表示点(x，y)和(1,0)的连线的斜率由图知，点(0,1)和点(1,0)连线的斜率最大，所以kmax1，故选C4(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_216_000_元解析 设生产产品A x件，生产产品B y件，利润之和为z元，则z2 100x
14、900y.根据题意得即作出可行域(如图)由得当直线2 100x900yz0过点M(60,100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000.故所求的最大值为216 000元易错点不能准确确定最优解的位置错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系【例1】 已知约束条件目标函数zaxby(a0，b0)的值最大为12，则的最小值为_.解析 画出可行域，如图中阴影部分所示由zaxby得，yx.0，一定是过点A时z取最大值由得A(4,6)，zmax4a6b12，1.2(当且仅当ab时，取等号)
15、的最小值为.答案 【跟踪训练1】 设变量x，y满足约束条件若目标函数zxky(k0)的最小值为13，则实数k(C)A7B5或13C5或D13解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知zxky(k0)过点A或B时取得最小值，所以k13或k13，解得k5或.课时达标第34讲解密考纲考查线性规划以选择题或填空题的形式出现一、选择题1已知实数x，y满足则z4xy的最大值为(B)A10B8C2D0解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A(2,0)时，z4xy取得最大值8.2设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是(A)ABC1,6D解析 不等式组表示的平面区域如图中阴
16、影部分所示由图可知，当直线z3xy过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值，故选A3设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y2的取值范围为(C)A2,8B4,13C2,13D解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin|OA|222，zmax|OB|2322213.故z2,134若实数x，y满足且zyx的最小值为2，则k(B)A1B1C2D2解析 当k0时，直线zyx不存在最小值，k0.当k0时，当有且仅当直线zyx经过kxy20与x轴的交点，(，0)时，z取得最小值2，2，即k1.5若关于x，y的不等式组所表示的平面区
17、域的面积等于2，则a(A)A3B6C5D4解析 先作出不等式组对应的区域，如图因为直线axy10过定点(0,1)，且不等式axy10表示的区域在直线axy10的下方，所以ABC为不等式组对应的平面区域因为A到直线BC的距离为1，所以SABC1BC2，所以BC4.当x1时，yC1a，所以yC1a4，解得a3.6设实数x, y满足则z的取值范围是(D)ABCD解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示解方程组得可行域的顶点分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)的连线的斜率，则kOA，kOB2，kOC，所示.结合对勾函数的图象，得z，故选D
18、二、填空题7(2016全国卷)若x，y满足约束条件则的最大值为_3_.解析 由约束条件画出可行域，如图的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，所以的最大值即为直线OA的斜率，又由得点A的坐标为(1,3)，于是maxkOA3.8已知实数x，y满足x2(y2)21，则的取值范围是_1,2_.解析 设P(x，y)，M(1，)，则cos，过原点O作C的切线OA，OB，切点为A，B，易知：MOxAOx60，BOx120，0，60，cos，1，12.9已知a0，实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a的值为_.解析 由题意得直线ya(x3)过x1与2xy1的交点(1，1)，因此a的值
19、为.三、解答题10已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解析 (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)依题意4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)11变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的
20、取值范围解析 可行域如图阴影部分由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)设P(x，y)，则zkPO，由图知zminkOB.(2)zx2y2|PO|2，|OC|22，|OB|229，由图得2z29，即z2,29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.16z64，即z16,6412某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解析 设A型，B型车分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线1 600x2 400yz经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆，B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小
