1、 第二章 圆锥曲线与方程2.1.4 双曲线及其标准方程1了解双曲线的定义和标准方程的推导过程 2掌握双曲线的标准方程 3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 知识回忆和 等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.如果把和改为差将得到什么样的轨迹？如图(A)，如图(B)，上面 两条合起来叫做双曲线由可得：|MF1|-|MF2|=2a （差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a1定义平面内到两个定点 F1，F2 的
2、距离之差的_等于常数(_|F1F2|)的点的集合知识导学2符号表示|MF1|MF2|2a(常数)(02a|F1F2|)3焦点两个_4焦距_的距离，表示为|F1F2|.【答案】1.绝对值 大于零且小于 3.定点 F1，F2 4.两个焦点之间问题探究探究1：求双曲线标准方程 例 1：根据下列条件求双曲线的标准方程(1)求以椭圆x216y291 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过 M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程【自主解答】(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点 F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为y2a2x
3、2b21(a0，b0)，将点 A(4，5)代入双曲线方程得25a216b21，又 a2b29，解得 a25，b24.双曲线的标准方程为y25 x241.问题探究法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，3)，F2(0,3)且 A(4，5)在双曲线上，则 2a|AF1|AF2|20 80|2 5，a 5，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为y25x241.(2)法一：若焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)因为 M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以 1a2 1b21，22a252b21，解得a278，b27.若焦点在 y 轴上，设双曲线的
4、标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)同理有 1a2 1b21，52a222b21，解得a27，b278(不合题意，舍去)所以所求双曲线的标准方程为x278y271.法二：设所求双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)将点 M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得mn1，4m25n1，解得m87，n17.所以所求双曲线的标准方程为x278y271.归纳总结1双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出相应的标准方程2在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0)3与双曲线x2a2y
5、2b21 共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2 y2b21(b20，b0)，则32a2 9b21，25a2 8116b21，解得a216，b29，双曲线的标准方程为y216x291.(2)法一：设双曲线方程为x2a2y2b21，由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，3 22a2 4b21.又a2b2(2 5)2，a212，b28.故所求双曲线方程为x212y281.法二：设双曲线方程为x216k y24k1(4k16)，将点(3 2，2)代入得 k4，所求双曲线方程为x212y281.例 2：已知O1：(x2)2y24，O2：(x2)2y21，动圆与两定圆都外切，求动圆圆心 M
6、 的轨迹方程问题探究探究2：双曲线定义及应用【自主解答】当M 在某一位置时其半径为 r，O1 半径 r12，O2 半径为 r21.由M 与O1 外切得|MO1|r1r2r，M 与O2 外切得|MO2|r2r1r，则|MO1|MO2|1|O1O2|，显然 M 点轨迹符合双曲线定义且为双曲线靠近 O2 的右支，以 O1、O2 为焦点由此可见 2a|MO1|MO2|1a12，2c|O1O2|4c2，故 b2c2a2414154.点 M 的轨迹为x214y21541(x12)利用双曲线的定义解有关轨迹方程的问题时，一定要注意通过定义分析出轨迹方程的类型，求出待定的系数，同时要注意是双曲线的两支还是一支
7、.归纳总结1、设 P 为双曲线22112yx 上的一点，12F F,是该双曲线的两个焦点，若1PF：2PF3：2，则12PF F的面积为（）A6 3B12 3C12D24学以致用【答案】C【解析】设1|PFm，2|PFn，则:3:2624m nmmnn又12|22 13F Fc，222(2)mnc，12PF F是直角三角形1 21122PF FSmn例 3：已知双曲线22221xyab，O 为坐标原点，2ca，点(5,3)M在双曲线上（1）求双曲线的方程；（2）若直线l 与双曲线交于 P、Q 两点，且0OP OQ.求2211OPOQ的值问题探究探究3：双曲线方程的综合问题【解析】（1）2ca，
8、22223bcaa，双曲线方程为222213xyaa，即22233xya.点(5,3)M在双曲线上，215 33a.24a.所求双曲线的方程为221412xy.（2）设直线OP 的方程为(0)ykx k，由221412ykxxy，得22222123123xkkyk，2222212(1)3kOPxyk.则OQ 的方程为1yxk，有22222112(1)12(1)1313kkOPkk，22222211331112(1)12(1)6kkkkOPOQ.双曲线中的焦点三角形：,双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三角形 PF1F2 称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1
9、PF2，因|F1F2|2c，所以有：1定义：|r1r2|2a.2余弦公式：4c2r21r222r1r2cos.3面积公式：SPF1F212r1r2sin.一般地，在PF1F2 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.归纳总结1设 P 为双曲线 x2y2121 上的一点，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，求PF1F2的面积.学以致用【解】由已知得 2a2，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2 13，由余弦定理，得 cos F1PF2624252264 0，三角形 F1PF2 为直角三角形SP
10、F1F2126412.1已知两定点 F1(5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2a，则当 a3和 a5 时，P 点的轨迹为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线当堂检测【解析】a3 时，2a60 得 k2 或 2k0，b0)，所以a2b29，16a215b21，a24，b25.所以所求的双曲线的标准方程为y24x251.课堂小结1.求双曲线方程的步骤:定位：确定焦点的位置，若不能确定要分类讨论；定量：由条件求a、b、c 2.解题中涉及双曲线上的点到焦点的距离时，应转化为利用定义求解作 业 生活中没有什么可怕的东西，只有需要理解的东西.居里夫人
