1、3.3.2函数的极值与导数课后篇巩固提升1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是()A.0B.1C.5D.6解析f(x)=2x3-3x2+a,f(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.答案D2.已知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析设f(x)与x轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中cd,由图知在(a,c),(d,b)上f(x)0,所以此时函数f(x)在(a,c),(d,b)内单调递增,在(c,d)上,
2、f(x)0),所以f(x)=0有两个不相等的正实数解,所以a20,且a21,解得a0,且a2.故选B.答案B5.已知a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()A.2B.3C.6D.9解析f(x)=4x3-ax2-2bx+2,f(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1处取得极值,f(1)=12-2a-2b=0.a+b=6,t=aba+b22=9(当且仅当a=b=3时等号成立),tmax=9.故选D.答案D6.函数f(x)=a+lnxx(aR)的极大值等于.解析函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=(1-a)-lnxx2,
3、令f(x)=0,得x=e1-a,当0x0;当xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=1e1-a=ea-1.答案ea-17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.解析由题意,f(x)=3x2+2x-a,则f(-1)f(1)0,即(1-a)(5-a)0,解得1a5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)内没有极值点.故实数a的范围为1,5).答案1,5)8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得
4、极值52.(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f(x)=3x2+2ax+b.依题意可得f(1)=0,f(1)=52,即3+2a+b=0,1+a+b+4=52,解得a=-12,b=-2.(2)由(1)知f(x)=x3-12x2-2x+4,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令f(x)=0,得x=-23或x=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的另一个极值在x=-23处取得,是极大值,极大值为f-23=13027.9.当a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根?解令f(x)=x3-3x2,则f(x)的定义域为R.由f(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以当x2时,f(x)0;当0x2时,f(x)0或a-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4a0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.
