1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高一期中)某学校高一3班为该班男生分配宿舍,如果每个宿舍安排3人,就会有6名男生没有宿舍住,如果每个宿舍安排5人,有一间宿舍不到5名男生,那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A.3或4B.4或5C.3或5D.4或6答案B解析设房间数量为x,由题意可得5(x-1)+13x+65x,解得3x5,x为正整数,x=4或5,故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5.故选B.2.(2021黑龙江八校高一期中)下列不等式正确
2、的是()A.若x0,则x+1x2B.若xR,则x2+3x2+22C.若xR,则1x2+10,则(1+x)1+1x4答案D解析由于x0,故(-x)+-1x2,则x+1x-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A错误;x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2,设x2+2=t(t2),所以y=t+1t,由于函数为对勾函数,在t=2时,最小值为2+22,故B错误;当x=0时,1x2+1=1,故C错误;由于x0,所以(1+x)1+1x=2+x+1x4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选D.3.(2021湖北高一期末)已知a0cb2B.a2b2C.b+cc-1c答案D解析因为
3、a0cbc=1.32,所以C不正确;可得0-1b-1c,所以b-1bc-1c,故D正确.故选D.4.不等式2x+2x+1的解集是()A.x|-3x0B.x|x-3,或-2x0C.x|-3x0D.x|x0答案A解析不等式2x+20,即等价于x(x+3)(x+2)0,得它的解集为x|-3x0.5.已知实数a,b满足1a+b3,-1a-b1,则4a+2b的取值范围是()A.0,10B.2,10C.0,12D.2,12答案B解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以31-14a+2b33+1,即24a+2b10.6.(2021河南焦作高二期末)已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,
4、则ab的取值范围是()A.2,4B.(0,24,+)C.4,16D.(0,416,+)答案D解析因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8ab-6ab+8,当且仅当a=b时等号成立.即(ab-2)(ab-4)0,所以0ab2或ab4,所以0ab4或ab16.ab的取值范围是ab|00,y0,且x+y=1,若不等式x2+y2+xy12m2+14m恒成立,则实数m的取值范围是()A.-32,1B.-32,1C.(-2,1)D.-,-32(1,+)答案A解析因为x0,y0,且x+y=1,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy1-x+y22=34,当且仅当x=y=12时,等号成立;又
5、不等式x2+y2+xy12m2+14m恒成立,所以只需3412m2+14m,即2m2+m-30,解得-32m0,t+14t2-80,t2+4t-320,即(t+8)(t-4)0,t4,故x+2y的最小值为4.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列命题中,不正确的是()A.若acbc,则abB.若ab,cd,则a-cb-dC.若ab,cd,则acbdD.若ab,则abc,但ab,cd,但a-c=-2,b-d=-1,a-cb,cd,但ac=0,bd=2,acbd,故C错;因为0ab,故(
6、a)2(b)2,即ab,故D正确.10.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(ab),其全程的平均速度为v,则()A.avabB.v=abC.abva0,由基本不等式可得aba+b2,v=2aba+b2ab2ab=ab,另一方面v=2aba+ba2-a2a+b=0,va,则av0(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),则()A.x1+x2=2B.x1x24D.-1x1x20(a0)的解集是x|x1xx2(x1x2),a0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.x1+x2=2,x1x2=1-3aa=1a-34.由x2-x14,可得-1x1x20,即1+2-a0,4+4
7、-a0,解得a3,a8,实数a的取值范围满足3a0,b1,且a(b-1)=4,则a+b的最小值为.答案5解析a0,b1,且a(b-1)=4,a=4b-10.a+b=4b-1+(b-1)+124+1=5,当且仅当a=2,b=3时,等号成立.14.(2020河南高二期末)已知x,y均为正实数,且满足1x+1y+3xy=1,则x+y的最小值为.答案6解析由1x+1y+3xy=1可得xy=x+y+3.又因为xyx+y22,所以x+y22x+y+3,即(x+y)2-4(x+y)-120,(x+y-6)(x+y+2)0,x+y-2或x+y6.又x,y均为正实数,x+y6(当且仅当x=y=3时,等号成立),
8、即x+y的最小值为6.15.(2020宁夏高一期中)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60x120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500xL,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为.答案x|60x100解析由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4500x-20L,依题意15x+4500x-209,解得45x100,依题意60x1
9、20,故60x100.所以速度x的取值范围为60,100.16.(2021陕西西安交大附中高一期中)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,则实数m的取值范围为.答案m|2-10m-1或5m2+10解析关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,=16(m-1)2-8(m2+7)0,|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x22,即m2-4m-50,m2-4m-60,解得2-10m-1,或5m0,b0且ab,(a-b)20,a+b0,(a3+b3)-(a2b+ab2)0,即a3+b3a2b+ab2.18.(12分)(2021江苏淮
10、安六校联盟高一联考)(1)已知a,b均为正数,且ab,比较aa+bb与ab+ba的大小;(2)a,b都为正数,a+b=2,求1a+1b+1ab的最小值.解(1)a,b均为正数,且ab,aa+bb-(ab+ba)=a(a-b)+b(b-a)=(a-b)(a-b)=(a-b)2(a+b)0,aa+bbab+ba.(2)a,b都为正数,且a+b=2,1a+1b+1ab=a+b+1ab=3ab3a+b22=3,当且仅当a=b=1时,等号成立,即1a+1b+1ab的最小值为3.19.(12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+1.(1)当m=5时,求不等式y0的解集;(2)若不等式y0的解集为R,求实数
11、m的取值范围.解(1)当m=5时,y=6x2-5x+1,不等式y0即为6x2-5x+10,解得该不等式的解集为xx12.(2)由题意得(m+1)x2-mx+10的解集为R.当m=-1时,该不等式的解集为x|x-1,不符合题意,舍去;当m-1时,=(-m)2-4(m+1)0,解得2-22m0)的最小值;(2)当0x2时,不等式ya成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.因为x0,所以x+1x2.当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以yx-2.故当x=1时,yx的最小值为-2.(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“当0x2时,不等式ya成立”只
12、要“当0x2时,不等式x2-2ax-10恒成立”.不妨设z=x2-2ax-1,则只要当0x2时,不等式z0恒成立.所以0-0-10,4-4a-10,解得a34.所以a的取值范围是34,+.21.(12分)(2021山东临沂部分高中高一期中)已知函数y=x2+2ax-b.(1)若b=8a2,求不等式y0的解集;(2)若a0,b0,且函数在x=b时的函数值为b2+b+a,求a+b的最小值.解(1)因为b=8a2,所以y=x2+2ax-8a2,由y0,得x2+2ax-8a20,即(x+4a)(x-2a)0,当a=0时,不等式y0的解集为x|x=0;当a0时,不等式y0的解集为x|-4ax2a;当a0时,不等式y0的解集为x|-4ax2a,当a25时,不等式ax258+50+16(x2-600)+15x成立,即当x25时,a150x+16x+15有解,因为150x+16x2150x16x=10,当且仅当150x=x6,即x=30时,等号成立.则a10.2.故当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时商品的每件定价为30元.
