1、幂函数课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是()A.f(x)=3x2B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=x-3答案C解析函数f(x)=3x2,不是幂函数;函数f(x)=,定义域是0,+),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)=x-4是幂函数,也是定义域(-,0)(0,+)上的偶函数;函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则下列关于f(x)的说法正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)的定义域为(0,+)D.f(x)在(0,+
2、)上单调递增答案D解析设幂函数f(x)=x(为常数),幂函数y=f(x)的图象过点(2,),2=,=,幂函数f(x)=.0,幂函数f(x)在(0,+)上单调递增,所以选项D正确;幂函数f(x)=的定义域为0,+),不关于原点对称,幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.3.已知a=1.,b=0.,c=,则()A.cbaB.cabC.bacD.ac0,且1.21.1,1.1.,即abc.4.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x(R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是()A.函数y=x的图象过原点B.函数y=x是偶函数C.函数y=x是减函
3、数D.函数y=x的值域为R答案AD解析因为幂函数图象过(3,27),则有27=3,所以=3,即y=x3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.5.若(a+1(3-2a,则a的取值范围是.答案解析因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+13-2a,解得a.6.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.答案9解析由题目可知加密密钥y
4、=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意,得2=4,解得=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.关键能力提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+)上单调递减,则f(2)=()A.8B.3C.-1D.答案D解析函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=,所以f(2)=,故选D.8.(2021吉林
5、延边高一期末)已知幂函数f(x)=,若f(a-1)f(14-2a),则a的取值范围是()A.-1,3)B.(-,5)C.1,5)D.(5,+)答案C解析由幂函数f(x)=,若f(a-1)f(14-2a),可得,即得1a0,若a,bR,且a+b0,ab0,函数在(0,+)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b0,ab0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.10.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范
6、围.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,a-12或a-13,相应解得a3或a4.故实数a的取值范围为(-,34,+).学科素养创新练11.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f(x)=(mZ)为偶函数且在区间(0,+)上单调递减,则m=,f=.答案2或34解析幂函数y=为偶函数,且在(0,+)上单调递减,m2-5m+40,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+40得1m4.由题知m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f=4.
