1、第2讲等差数列及其前n项和知 识 梳 理1等差数列的定义及通项公式(1)等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(公差常用字母“d”表示)即anan1d(n2，nN)(2)等差中项：如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，其中A.(3)等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为ana1(n1)d；若已知第m项am和公差d，通项an还可写成anam(nm)d.(4)等差数列的公差公式：d或d.2等差数列的性质(1)若数列an是等差数列，则anam(nm)d(n、m
2、N*)(2)数列an是等差数列，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap.(3)在有穷等差数列an中，与首、末两项距离相等的任意两项之和与首、末两项之和相等，如a1ana2an1.(4)若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn、仍为等差数列，其中m，k为常数(5)等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.(6)项数为偶数2n的等差数列an，有S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an与an1为中间的两项)，S偶S奇nd，.(7)项数为奇数2n1的等差数
3、列an，有S2n1(2n1)an(an为中间项)，S奇S偶an，.3等差数列的前n项和(1)公式：若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1d.(2)等差数列的前n项和公式与函数的关系：Snn2n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)(3)最值问题：在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值辨 析 感 悟1对等差数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)(教材习题改编)数列an
4、为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()2等差数列的通项公式与前n项和(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()3等差数列性质的活用(7)(2012福建卷改编)在等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差d2.()(8)(2013辽宁卷改编)已知关于d0的等差数列an，则数列an，nan，an3nd都是递增数列()感悟提升1一点注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)2等差数列与函数的区别一是当公差d0
5、时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列an的单调性是由公差d决定的，如(8)中若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增；若ann1，则满足已知，但1是递减数列；设ana1(n1)ddnm，则an3nd4dnm是递增数列.考点一等差数列的基本量的求解【例1】 在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3.解得d2.从而，
6、an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.进而由Sk35可得2kk235.即k22k350，解得k7或5.又kN*，故k7为所求规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练1】 (1)(2013浙江五校联考)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10_.(2)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则
7、S6_.解析(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则解得S1010(4)395.(2)设公差为d，由得解得则S66348.答案(1)95(2)48考点二等差数列的判定与证明【例2】 (2014梅州调研改编)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式审题路线(1)利用anSnSn1(n2)转化为关于Sn与Sn1的式子同除SnSn1利用定义证明得出结论(2)由(1)求再求Sn再代入条件an2SnSn1，求an验证n1的情况得出结论(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首
8、项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练2】 已知数列an满足：a12，an13an3n12n.设bn.证明：数列bn为等差数列，并求an的通项公式证明bn1bn1，bn为等差数列，又b10.bnn1，an(n1)3n2n.考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)(2013安徽卷改编)设Sn为等差数列an的前n项
9、和，S84a3，a72，则a9_.(2)在等差数列an中，前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为_解析(1)S84a34a3a3a6a3，a60，da7a62，a9a72d246.(2)记数列an的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，则2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又Sm30，S2m100，S2mSm1003070，所以S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以S3m110100210.答案(1)6(2)210规律方法 巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；
10、若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a d，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元【训练3】 (1)在等差数列an中若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn286，则n_.(2)已知等差数列an中，S39，S636，则a7a8a9_.解析(1)依题意知a1a2a3a421，anan1an2an367.由等差数列的性质知a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88，a1an22.又Sn，即286，n26.(2)an为等差数列，S3，S6S3，S9S6成等差数列，2(S6S3)S3(S9S6)a7a8a9S9S62(S6S3)S32(369)
11、945.答案(1)26(2)451等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解方法优化4整体代入法(整体相消法)在数列解题中的应用【典例】 (1)(2012辽宁卷改编)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11_.(2)(2013北京卷)若等比数列an满足：a2a420，a
12、3a540，则公比q_；前n项和Sn_.一般解法 (1)设数列an的公差为d，则a4a816，即a13da17d16，即a185d，所以S1111a1d11(85d)55d8855d55d88.(2)由a2a420，a3a540，得即解得q2，a12，Sn2n12.优美解法 (1)由a1a11a4a816，得S1188.(2)由已知，得q2，又a12，所以Sn2n12.反思感悟 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征【自主体验】在等差数列an中，已知Snm，Smn(mn)，则Smn_.解析设an的公差为d，则由Snm，Smn，得
13、得(mn)a1dnm，mn，a1d1.Smn(mn)a1d(mn)(mn)答案(mn)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013肇庆二模)在等差数列an中，a1533，a2566，则a35_.解析a25a1510d663333，a35a2510d663399.答案992(2014成都模拟)已知等差数列an的首项a11，前三项之和S39，则an的通项an_.解析由a11，S39，得a1a2a39，即3a13d9，解得d2，an1(n1)22n1.答案2n13(2013温州二模)记Sn为等差数列an前n项和，若1，则其公差d_.解析由1，得1，即a1d1，d2.答案24(2014潍坊
14、期末考试)在等差数列an中，a5a6a715，那么a3a4a9等于_解析由题意得3a615，a65.所以a3a4a97a67535.答案355(2013揭阳二模)在等差数列an中，首项a10，公差d0，若ama1a2a9，则m的值为_解析由ama1a2a9，得(m1)d9a536dm37.答案376(2014无锡模拟)an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a75，S721，则S10_.解析设公差为d，则由已知得S7，即21，解得a11，所以a7a16d，所以d.所以S1010a1d1040.答案407(2013淄博二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a13S1313，则a1_.解析在等
15、差数列中，S1313，所以a1a132，即a12a1321311.答案118(2013浙江五校联考)若等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a2a352，则S3S5_.解析.答案32二、解答题9(2013福建卷)已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围解(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或2.(2)因为数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12.故a1的取值范围是(5,2)10(2013西安模
16、拟)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1)设等差数列an的公差为d，且d0，由等差数列的性质，得a2a5a3a422，所以a3，a4是关于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通项为an1(n1)44n3.(2)由(1)知Sn2n2n，所以bn.法一所以b1，b2，b3(c0)令2b2b1b3，解得c.当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列法二
17、由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014咸阳模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，S440，Sn210，Sn4130，则n_.解析SnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以4(a1an)120，a1an30，由Sn210，得n14.答案142等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是_解析法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80，根据首项等
18、于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时，Sn最大法二由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n，根据二次函数的性质，知当n7时，Sn最大法三根据a113，S3S11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n7时，Sn取得最大值答案73(2014九江一模)正项数列an满足：a11，a22,2aaa(nN*，n2)，则a7_.解析因为2aaa(nN*，n2)，所以数列a是以a1为首项，以daa413为公差
19、的等差数列，所以a13(n1)3n2，所以an，n1.所以a7.答案二、解答题4(1)已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列an唯一，求a的值；(2)是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由解(1)设an的公比为q，则b11a，b22aq，b33aq2，由b1，b2，b3成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即aq24aq3a10.*由a0得，4a24a0，故方程*有两个不同的实根再由an唯一，知方程*必有一根为0，将q0代入方
20、程*得a.(2)假设存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列设an的公比为q1，bn的公比为q2，则b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q.由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差数列，得即q2得a1(q1q2)(q11)20，由a10得q1q2或q11.()当q1q2时，由得b1a1或q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾()当q11时，由得b10或q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾综上所述，不存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列
