1、习题课（一） 立体几何初步1.(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2C3 D2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON164，OM2，MN 2.2过平面外两点与这个平面平行的平面()A只有一个 B至少有一个C可能没有 D有无数个解析：选C过这两点的直线若与已知平面平行，则有且只有一个，若
2、与已知平面相交，则不存在故选C.3已知平面平面，l，则下列命题错误的是()A如果直线a，那么直线a必垂直于平面内的无数条直线B如果直线a，那么直线a不可能与平面平行C如果直线a，al，那么直线a平面D平面内一定存在无数条直线垂直于平面内的所有直线解析：选BA选项中直线a必定与平面内无数条平行直线垂直，故正确；B选项中如果a，al，a，则a，故错误；由面面垂直的性质定理可知C选项正确；在平面内，垂直于交线l的直线都垂直于平面，也就垂直于平面内的所有直线，故D选项正确4设，是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：若l，则l；若l，则l；若l，则l；若l，则l.其中说法正确的个数为()A1 B
3、2C3 D0解析：选A对于，若l，则l或l，故错误；对于，若l，则l或l，故错误；对于，若l，则l，故正确；对于，若l，则l或l或l或l与斜交，故错误5四面体ABCD为空间四边形，ABCD，ADBC，ABAD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()AAC，BD之一垂直 BAC，BD都垂直CAC，BD都不垂直 DAC，BD不一定垂直解析：选BADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB.ANCN.在等腰ANC中，由M为AC的中点知MNAC.同理可得MNBD.6(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A BC D解析
4、：选C如图，连接BE，因为ABCD，所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tan EAB，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.7现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.答案：8正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长等于_解析：如图，取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH4，FH1.由正三棱柱的
5、性质知EFH为直角三角形所以EF.答案：9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为_解析：几何体的表面积为S6220.52220.52240.52241.5.答案：241.510一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点) (1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积解：(1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NGCF，MGEF.又MGNGG，CFEFF，平面M
6、NG平面CDEF.又MN平面MNG，MN平面CDEF.(2)作AHDE于H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，AH平面CDEF，且AH.VACDEFS四边形CDEFAH22.11(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平
7、面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.探究应用题12(2018北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，ABPAA，所以PD平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD. (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.
