1、专题综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20(B)A1 B1 C3 D7解析：a1a3a5105，即3a3105，a335.同理可得a433，公差da4a32，a20a4(204)d1.故选B.2已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为(A)A. B. C. D.解析：由a55，S515可得 ann.S1001.3(2015新课标卷)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则
2、a2(C)A2 B1 C. D.解析：解法一 a3a5a，a3a54(a41)， a4(a41)， a4a440， a42.又 q38， q2， a2a1q2，故选C.解法二 a3a54(a41)， a1q2a1q44(a1q31)，将a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2， a2a1q，故选C.4已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于(B)A64 B100 C110 D1205在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11(B)A18 B99 C198 D2976设等差数列an的前n项和为Sn，且a110，a29，那么
3、下列不等式中成立的是(D)Aa10a110 Ba20a220CS20S210 DS40a410解析：公差da2a11，an11n.a10a110，a20a220，故A、B错误Snn，S20S21，即S20S210，故C错由an及Sn知，S400，a410，即S40a410，故D正确7已知数列an的各项均为正数，其前n项和是Sn，若log2an是公差为1的等差数列，且S6，那么a1的值是(A)A. B. C. D.8已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是(D)A(，1B(，0)(1，)C3，)D(，13，)9(2015浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，
4、若a3，a4，a8成等比数列，则(B)Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0解析： a3，a4，a8成等比数列， aa3a8， (a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2. d0， a1d0. Snna1d， S44a16d，dS44a1d6d2d20.10已知f(x)x1，g(x)2x1，数列an满足a11，an1则a2 016(D)A22 0162 016 B21 0072 016C22 0162 D21 0092解析：a2n2a2n11(2a2n1)12a2n2.即a2n222(a2n2)，a2n2是以2为公比，a224为首
5、项的等比数列a2n242n12n1.a2n2n12.a2 01621 0092.11某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是(D)A不增不减 B约增1.4%C约减9.2% D约减7.8%解析：设原价为1，则现价为(120%)2(120%)20.921 6，10.921 60.078 4，约减7.8%.12(2014兰州模拟)设yf(x)是一次函数，若f(0)1且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于(A)An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析：由题意可设f(x)kx1(k0)
6、，则(4k1)2(k1)(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(22n1)4(12n)n2n23n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13(2015新课标卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn解析： an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1. Sn0， 1，即1.又1， 是首项为1，公差为1的等差数列 1(n1)(1)n， Sn.14(2015陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为5解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.
7、15(2014肇庆一模)等比数列an中，a1a220，a3a440，则a5a6等于80解析：q22，a5a6a1q4a1q5q2(a1q2a1q3)80.16已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的斜率是4三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2014湛江一模)已知正数数列an中，a11，前n项和为Sn，对任意nN*，lg Sn，lg n，lg 成等差数列(1)求an和Sn；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，当n2时，证明：SnTn2.解析：(1)依题意
8、：lg Snlg 2lg n，即n2，Snann2.anSn1ann2.当n2时，Sn1an1(n1)2.代入并整理得：.，.把以上式子相乘得：，又a11, an.当n1时，a11也满足上式，an.an 2，Sn22.(2)bn2Tn22.n2，0，Tn22.又TnSn22(n1)！1nn！(n1)n！1nn！(n！1)0.SnTn2.18(12分)设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列解析：(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)a12，a12a2(a1a2)4.a24.(2)a1
9、2a23a3nan(n2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)由得nan(n1)Sn2n(n2)Sn12(n1)n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2.Sn2Sn120，即Sn2Sn12.Sn22(Sn12)S1240，Sn120.2.Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列19(12分)(2015天津卷)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和解析：(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0.由已知，
10、有消去d，整理得q42q280，解得q24.又因为q0，所以q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.20(12分)(2014江西卷)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对任意n1，都有mN*，使得a1
11、，an，am成等比数列分析：(1)由和项求通项，主要根据an进行求解因为Sn，所以当n2时，anSnSn13n2，又n1时，anS11312，所以an3n2；(2)证明存在性问题，实质是确定n，要使得a1，an，am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，m3n24n2.而此时mN*且mn，所以对任意n1，都有mN*，使得a1，an，am成等比数列解析：(1)因为Sn，所以当n2时anSnSn13n2，又n1时，anS11312，所以an3n2.(2)要使得a1，an，am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，m3n24n2，而此时mN*，且mn，所以对任
12、意n1，都有mN*，使得a1，an，am成等比数列21(12分)(2015福建卷)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解析：(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.22(12分)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Taa1b1a2b2anbn，nN*，证明：Tn8an1bn1(nN*，n2)解析：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d，由条件得方程组故an3n1，bn2n，nN*.(2)由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18.得Tn8(3n4)2n1.而当n2时，an1bn1(3n4)2n1.所以Tn8an1bn1(nN*，n2)
