1、第五章 三角函数51任意角和弧度制最新课程标准1.了解任意角的概念和弧度制2能进行弧度与角度的互化3体会引入弧度制的必要性学科核心素养1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角(数学抽象)2理解弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(数学抽象、数学运算)51.1任意角教材要点要点一角的分类类型定义图示正角按_方向旋转形成的角负角按_方向旋转形成的角零角一条射线_做任何旋转，称它形成了一个零角(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的(2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：要明确旋转方向；要明确旋转角的大小；
2、要明确射线未做任何旋转时的位置；要注意由旋转方向来确定角的符号要点二角的加法(1)若两角、的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称_(2)设、是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是_(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为_角的相反角记为_，_要点三象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与_重合，角的始边与x轴的_重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角_任何一个象限要点四终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S_，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与_的和(1)为任意角，“
3、kZ”这一条件不能漏(2)k360 与中间用“”连接，k360 可理解成k360 ().(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等终边相同的角有无数个，它们相差360 的整数倍终边不同则表示的角一定不同基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同()(2)终边相同的角的表示不唯一()(3)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍()(4)终边与始边重合的角是零角()2手表时针走1小时转过的角度是()A60B60C30 D303与53角终边相同的角是()A127 B233C307 D12742 019是第
4、_象限角题型1任意角的概念及应用例1(1)(多选)下列说法错误的是()A090的角是第一象限角B第二象限角大于第一象限角 C钝角都是第二象限角D小于90的角都是锐角(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是()A10 B15C30 D30方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可跟踪训练1(1)下列说法正确的是()A第一象限的角一定是正角B三角形的内角不是锐角就是钝角C锐角小于
5、90D终边相同的角相等(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_题型2终边相同的角例2(1)写出与75角终边相同的角的集合，并求在3601 080范围内与75角终边相同的角(2)写出终边在直线yx上的角的集合方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤写出在0，360)内相应的角；由终边相同的角的表示方法写出角的集合；根据条件能合并一定合并，使结果简洁(2)终边相同角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍；终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍跟踪训练2(1)与460角终边相同的角可以表示成()A460k360，kZB10
6、0k360，kZC260k360，kZD260k360，kZ(2)终边落在x轴上的角的集合为_题型3象限角与区域角的表示角度1象限角的判定例3(多选)若是第二象限角，则所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限方法归纳关于角n或象限的确定(1)由的范围，表示出n，的范围，由n的取值确定象限(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可(如图)角度2区域角的表示例4写出如图所示阴影部分(包括边界)的角的范围方法归纳区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角其写法可分为三步：(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
7、(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的360到360范围内的角和，并将该范围内的区域角表示为x|x，其中360；(3)起始、终止边界对应角、再加上360的整数倍，即得区域角的范围跟踪训练3(1)已知是第一象限角，那么是()A第一象限角B第二象限角C第一或第二象限角D第一或第三象限角(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合忽视轴线角致误例5已知为锐角，则2为()A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于180的角解析：因为为锐角，所以(0，90)，则2(0，180).答案：D易错警示易错原因纠错心得当45时，290，90既不是第一象限也不是第二象限角易错选：C.象限角不
8、包括坐标轴表示的角(0，180)内的角不能说是第一或第二象限角，其中还有终边在y轴的非负半轴的角课堂十分钟1下列各角中，与35终边相同的角是()A215B365 C755D2352把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A120B120 C240D2403若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4角，的终边关于y轴对称，若30，则_，的相反角为_5写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合51任意角和弧度制51.1任意角新知初探课前预习要点一逆时针顺时针没有要点二(1)(2)(3)相反角()要点三原点非负半轴不属于要点四|k360，kZ
9、整数个周角基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：C4答案：三题型探究课堂解透例1解析：(1)090的角是指0，90)，0角不属于任何象限，所以A不正确；120是第二象限角，390是第一象限角，显然390120，所以B不正确；钝角的范围是(90，180)，显然是第二象限角，所以C正确；锐角的范围是(0，90)，小于90的角也可以是零角或负角，所以D不正确故选ABD.(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以36015.故选B.答案：(1)ABD(2)B跟踪训练1解析：(1)355是第一象限的角，但不是正角，所以A
10、错误；三角形的内角还可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45角与405角的终边相同，但不相等，所以D错误故选C.(2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120，所以分针转过的度数为120.答案：(1)C(2)120例2解析：(1)与75角终边相同的角的集合为S|k36075，kZ当3601 080，即360k360751 080时，解得k2.又kZ，所以k1或k2.当k1时，435；当k2时，795.综上所述，与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角(2)终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k1360，k1Z；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|3
11、00k2360，k2Z因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k1360，k1Z|300k2360，k2Z，即S|1202k1180，k1Z|120(2k21)180，k2Z|120n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ跟踪训练2解析：(1)因为460260(2)360，所以460可以表示成260k360，kZ.故选C.(2)在0360范围内，终边在直线y0上的角有两个，即0和180，又所有与0角终边相同的角的集合为S1|0k360，kZ，所有与180角终边相同的角的集合为S2|180k360，kZ，于是，终边在直线y0上的角的集合为SS1S2|k18
12、0，kZ答案：(1)C(2)|k180，kZ例3解析：是第二象限角，90k360180k360，kZ，45k18090k180，kZ.当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)；当k2n1(nZ)时，225n360270n360(nZ).的终边位于第一或第三象限故选AC.答案：AC例4解析：(1)因为与45角终边相同的角可写成45k360，kZ的形式，与18030150角终边相同的角可写成150k360，kZ的形式，所以图(1)阴影部分的角的范围可表示为|150k36045k360，kZ(2)因为与45角终边相同的角可写成45k360，kZ的形式，与36060300角终边相同的角可写
13、成300k360，kZ的形式，所以图(2)阴影部分的角的范围为|45k360300k360，kZ跟踪训练3解析：(1)k36090k360，kZ，k18045k180，kZ.当k2n，nZ时，n36045n360，nZ，是第一象限角当k2n1，nZ时，180n36045180n360(nZ)，在第三象限故选D.(2)若角的终边落在OA上，则30k360，kZ.若角的终边落在OB上，则135k360，kZ.所以，角的终边落在图中阴影区域内时，30k360135k360，kZ.故角的取值集合为|30k360135k360，kZ答案：(1)D(2)见解析课堂十分钟1答案：C2答案：D3答案：C4答案：150k360(kZ)305解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1)|30k360150k360，kZ(2)|210k36030k360，kZ
