1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列an中,a1=1,a2=3,an=an-1+1an-2(n3),则a5等于()A.5512B.133C.4D.5答案A解析a3=a2+1a1=3+1=4,a4=a3+1a2=4+13=133,a5=a4+1a3=133+14=5512.2.公比为3的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=36,则a5等于()A.13B.23C.14D.16答案B解析a3a11=a72=36,a7=6,a5=a7q2=632=23.3.等差数列an的公差为
2、d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数也为定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S15答案C解析a2+a8+a11=(a1+d)+(a1+7d)+(a1+10d)=3a1+18d=3(a1+6d)为常数,a1+6d为常数.S13=13a1+13122d=13(a1+6d)也为常数.4.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11等于()A.58B.88C.143D.176答案B解析S11=11(a1+a11)2=11(a4+a8)2=11162=88.5.数列(-1)nn的前2 019项的和S2 019为()A.-2 017
3、B.-1 010C.2 017D.1 010答案B解析S2019=-1+2-3+4-5+2018-2019=(-1)+(2-3)+(4-5)+(2018-2019)=(-1)+(-1)1009=-1010.6.若an是等比数列,其公比是q,且-a5,a4,a6成等差数列,则q等于()A.1或2B.1或-2C.-1或2D.-1或-2答案C解析由题意得2a4=a6-a5,即2a4=a4q2-a4q,而a40,q2-q-2=0,即(q-2)(q+1)=0.q=-1或q=2.7.一个首项为23,公差为整数的等差数列,从第7项开始为负数,则它的公差是()A.-2B.-3C.-4D.-6答案C解析由题意,
4、知a60,a70.a1+5d=23+5d0,a1+6d=23+6d0,-235d-236.dZ,d=-4.8.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A.55 986只B.46 656只C.216只D.36只答案B解析设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则数列an是公比为6的等比数列,故a6=a1q5=665=46656.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分
5、,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知数列an满足a1=-12,an+1=11-an,则下列各数是an的项的有()A.-2B.23C.32D.3答案BD解析数列an满足a1=-12,an+1=11-an,a2=11-(-12)=23,a3=11-a2=3,a4=11-a3=-12,数列an是周期为3的数列,且前3项为-12,23,3.故选BD.10.等差数列an的前n项和为Sn,a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是()A.a10=0B.当n=9或10时,Sn取最大值C.|a9|1,a6a71,a6-1a7-10,则下列结论正确的是()A.0q1B.0a6a81,a6a71,a6-1
6、a7-10,1a6,0a71.a7a6=q(0,1),a6a8=a72(0,1),Sn没有最大值,Tn的最大值为T6.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1=12n(n=1,2,3,),则S2n+3=.答案431-14n+2解析由题意,得S2n+3=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a2n+2+a2n+3)=1+14+116+14n+1=431-14n+2.14.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1+2Sn+1Sn=0,则a3=,Sn=.答案-21512n-1解析数列an的前n项和为Sn,a1=
7、1,an+1+2Sn+1Sn=0,则Sn+1-Sn=-2SnSn+1(nN+),可得1Sn+1-1Sn=2,所以1Sn是等差数列,首项为1,公差为2,所以1Sn=1+2(n-1)=2n-1,Sn=12n-1,nN,a3=S3-S2=15-13=-215.15.数列an的通项公式为an=ncosn2,其前n项和为Sn,则S2 017=.答案1 00816.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500 m以外的公路边埋栽,在500 m处埋栽1根,然后沿公路一侧每隔50 m埋栽1根.已知运输车辆每次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车辆总的行程最少为 m
8、.答案14 000解析由近往远运送,第一次运2根,以后每次运3根,这种运法运输车辆总的行程最少.由近往远运送,每次来回行驶的距离构成一个等差数列,记为an,其前n项和为Sn,则a1=1100,d=300,n=7,所以S7=71100+762300=14000.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列an满足a1=78,且an+1=12an+13,nN+.(1)求证:an-23是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明由已知得an+1-23=12an-13=12an-23.a1=78,a1-23=524.an-23是以524为首
9、项,12为公比的等比数列.(2)解由(1)知,an-23是以524为首项,12为公比的等比数列,an-23=52412n-1,an=52412n-1+23.18.(12分)设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=21,S15=-75,Tn为数列Snn的前n项和,求Tn的最大值.解设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+12n(n-1)d.S7=21,S15=-75,7a1+21d=21,15a1+105d=-75,解得a1=9,d=-2.Sn=na1+n(n-1)2d=9n-(n2-n)=10n-n2,Snn=10-n.Sn+1n+1-Snn=-1,数列Snn是以9为首项,-1
10、为公差的等差数列,Tn=n9+(10-n)2=-12n2+192n=-12n-1922+3618(nN+).故当n=9或n=10时,Tn有最大值45.19.(12分)已知an是等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入3个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?解因为数列an中,a1=2,a2=3,d=a2-a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)1=n+1.设新数列为bn,公差为d,据题意知b1=2,b5=3,则d=b5-b15-1=3-24=14,所以bn=2+(n-1)1
11、4=n4+74.(1)a12=12+1=13,令n4+74=13,得n=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.(2)b29=294+74=9,令n+1=9,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项.20.(12分)已知an是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为an的前n项和.(1)求通项an及Sn;(2)设bn-an是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式及前n项和Tn.解(1)因为an是首项a1=19,公差d=-2的等差数列,所以an=19-2(n-1)=-2n+21,Sn=19n+n(n-1)2(-2)=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1,所以bn=3n-1+an=3n-1-2n+21,所以Tn=Sn+(1+3+3n-1)=-n2+20n+3n-12.21.(12分)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN+)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm1,nN+.
