1、4.5.2用二分法求方程的近似解课后篇巩固提升合格考达标练1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0,则方程的解落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定答案B解析f(1)0,f(1.25)0,f(1.25)f(1.5)0,f(1.40625)0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.3.(多选题)下列关于函数y=f(x),xa,b的说法错误的是()A.若x0a,b且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在a,b上的
2、零点,则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值答案BCD解析x0a,b且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD.4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间2,3内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为.答案2,2.5解析因为f(2)0,f(3)0,所以f(2)f(
3、2.5)0.所以下一个有解区间应为2,2.5.5.下表是连续函数f(x)在区间1,2上一些点的函数值:x11.251.3751.406 51.4381.51.6251.751.8752f(x)-2-0.984-0.260-0.0520.1650.6251.9822.6454.356由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为.(精确到0.1)答案1.4解析由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间1.4065,1.438上,由精确度可知近似解可为1.4.6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.(1)证明:f(x)有且只有一个零点;(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于14.(
4、1)证明令x1x20,则f(x1)-f(x2)=lnx1x2+2(x1-x2),且x1x21,x1-x20.f(x1)f(x2),即f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数,f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln2-20,f(2)f(3)0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.f(x)在(0,+)上只有一个零点.(2)解f(2)0,取x1=2+32=52,f52=ln52-10,f(3)f520.f52f1140),我们知道f(1)f(2)0,所以2(1,2),要使2的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为()A.3B.4C.5D.6答案B解析设要计算n次,则
5、n满足12n10.故计算4次就可满足要求.所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.8.用二分法求方程ln x-1x=0在1,2上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为()A.(1,1.25)B.(1,1.5)C.(1,2)D.(1.5,2)答案D解析令f(x)=lnx-1x,因为f(1)=-1ln2-ln412=ln2-ln2=0,f(1.5)=ln32-23=ln32-23lne=13ln(32)3-13lne2=13ln278-lne213(ln4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区
6、间(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是()A.f54B.f(2)C.f(1)D.f32答案BD解析由二分法的步骤可知:零点在区间(0,4)内,则有f(0)f(4)0,f(4)0,取中点2;零点在区间(0,2)内,则有f(0)f(2)0,f(2)0,取中点1;零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,f(2)0,取中点32;零点在区间1,32内,则有f(1)f320,f320,则取中点54;零点在区间54,32内,则有f54f320,f320,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32.10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(mR)的
7、一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531 250.562 50.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625B.-0.009C.0.562 5D.0.066答案C解析设近似解为x0,因为f(0.53125)0,所以x0(0.53125,0.5625).因为0.5625-0.53125=0.031250.05,所以方程的近似解可取为0.5625,故选C.11.(2020湖北黄石高一期中)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零
8、点,其参考数据如下:f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)-0.029f(1.550 0)-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为(精确到0.01).答案1.56解析由表知,f(1.5562)=-0.029,f(1.5625)=0.003,则f(1.5562)f(1.5625)0,故区间的端点四舍五入可得1.56.12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x-2,-1有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.解因为f(-2)=
9、-8-4+5=-70,所以f(-2)f(-1)0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间-2,-1上有零点x0.至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:取区间-2,-1的中点x1=-2-12=-32,且f-32=-278-94+5=-580,所以x0-32,-54.取区间-32,-54的中点x3=-54-322=-118,且f-118=(-118)3-(-118)2+50,所以x0-32,-118.因为-118-320.2,所以区间-32,-118的中点x4=-32-1182=-2316即为零点的近似值,即x0-2316,所以至少需进行3次函数值的计算.新情境创新练13.(2020云南曲靖高一
10、期中)已知函数f(x)=x.(1)判断函数f(x)在区间0,+)上的单调性,并用定义证明;(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据:1.251.18,1.51.225,1.751.323,log21.250.32,log21.50.585,log21.750.807)解(1)函数f(x)在区间0,+)上是增函数.理由如下:令0x1x2,由于f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x2x1+x20,即f(x1)f(x2),故函数f(x)在区间0,+)上是增函数.(2)g(x)=x+log2x-2是增函数.g(1)=1+log21-2=-10,g(2)=2+log22-2=2-10,函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.g(1.5)=1.5+log21.5-21.225+0.585-2=-0.190,函数的零点在(1.5,1.75).1.75-1.5=0.250.3,g(x)零点的近似值为1.5.(函数g(x)的零点近似值取区间1.5,1.75中的任意一个数都可以)
