1、4.4对数函数4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质课后篇巩固提升合格考达标练1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是0,1,则函数f(x)的值域为()A.0,1B.(0,1)C.(-,1D.1,+)答案A解析由于0x1,1x+12,log21log2(x+1)log22,即0log2(x+1)1,故函数f(x)的值域为0,1,故选A.2.已知函数f(x)=loga(x-m)(a0,且a1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数答案A解析将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有0=loga(4-m),1=
2、loga(7-m),解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.3.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在-12,0内恒有f(x)0,则a的取值范围是()A.(1,+)B.(0,1)C.(0,2)D.(1,2)答案D解析由-12x0,得02x+10恒成立,则0a-11.故1alogb130,则下列关系正确的是()A.0ba1B.0ab1C.1baD.1alogb130,则由对数换底公式可得-lg3lga-lg3lgb0,即lg3lgalg3lgb0可得lga0,lgblgb,因此0ba0,且a1)的反函数
3、,其图象经过点(a,a),则f(x)=()A.log2xB.log12xC.12xD.x2答案B解析因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数经过点(a,a),因此logaa=a,解得a=12,所以f(x)=log12x.6.已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则()A.abcB.acbC.cbaD.cab答案D解析0a=2-1320=1,b=log213log1212=1,cab.故选D.7.(2021江苏南京六校高一期中)已知函数f(x)=loga(a-ax)(a1),则f(x)的定义域为,值域为.答案(-,1)R解析令a-ax0,即ax1,所以x0,所以f(x)=
4、loga(a-ax)R,因此,函数f(x)的定义域为(-,1),值域为R.8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.解(1)设f(x)=logax(a0,且a1).由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为31,所以当x(0,1)时,f(x)0且a1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是()答案ABD解析
5、函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.10.将y=2x的图象先,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象()A.先向上平移1个单位长度B.先向右平移1个单位长度C.先向左平移1个单位长度D.先向下平移1个单位长度答案D解析y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.11.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图
6、象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是()A.-eB.-1eC.eD.1e答案B解析函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=lnx,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,ln(-m)=-1,m=-1e,故选B.12.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f(x)=logax(a0,a1)图象经过点(4,2),则下列命题正确的有()A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x1,则f(x)0D.若0x1x2,则f(x1)+f(x2)21时,f(x)=lo
7、g2xlog21=0成立,故C正确;因为f(x)=log2x往上凸,故若0x1x2,则f(x1)+f(x2)20,3x,x0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.答案(0,1解析函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0b1;ba1;ab1;ba0,且a1),其图象经过点12,10,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;(2)若g(x)在区间10,c上的值域为m,n,且n-m=32,求c的值.解(1)因为f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点12,10,
8、所以10=a12,所以a=10,所以f(x)=10x.因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,所以102m10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lgx(x0),且为增函数,所以g(x)在区间10,c上的值域为lg10,lgc=m,n.因为n-m=32,所以lgc-lg10=32,所以lgc=2,则c=100.新情境创新练16.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.(1)若1M,2M,求实数a的取值范围;(2)若M=R,求实数a的取值范围.解(1)由题意M=x|ax2+2x+a0.由1M,2M可得a12+21+a0,a22+22+a0,化简得2a+20,5a+40,解得-450恒成立.当a=0时,不等式可化为2x0,解得x0,显然不合题意;当a0时,由二次函数的图象可知=22-4aa0,即4-4a20,化简得a21,a0,解得a1.所以a的取值范围为(1,+).
