1、课时限时检测(十五)导数的应用(二)(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A2m2B2m2Cm2或m2Dm2或m2【答案】A2在R上可导的函数f(x)的图象如图2121所示，则关于x的不等式xf(x)0的解集为() 图2121A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)【答案】A3函数f(x)ex(sin xcos x) 在区间上的值域为()A. B.C1，eD(1，e)【答案】A4函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的
2、解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)【答案】B5如图2122，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图象大致为() 图2122【答案】A6设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x0，时，0f(x)0.则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()A2B4 C5D8【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_【答案】f(3)f(2)f8若函数f(x)满足：“对于区
3、间(1,2)上的任意实数x1，x2(x1x2)，|f(x2)f(x1)|x2x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数f(x)；f(x)|x|；f(x)x；f(x)x2.其中是完美函数的序号是_【答案】9已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是_【答案】m|m2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知定义在区间2，t(t2)上的函数f(x)(x23x3)ex.(1)当t1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设mf(2)，nf(t)，试证明mn.【解】(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)由于t1，故当x(2,0)时，
4、f(x)0，f(x)单调递增，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，t)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，函数yf(x)的单调递增区间为(2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)(2)mf(2)13e2，nf(t)(t23t3)et，设h(t)nm(t23t3)et13e2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)h(t)，h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)e0，又h(2)0，所以当t2时，h(t)h(2)0，即h(t)0，因此，nm0，即mn.
5、11(12分)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值【解】(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y(0x36)(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，当
6、x时，函数单调递减；当x时，函数单调递增当x时，函数取得最小值又此时x6，解得b25，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度b的值为25.12(13分)(理)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线的方程；(2)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围【解】(1)当a2时，f(x)xln x，f(x)ln x1，f(1)2，f(1)1，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为yx3；(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)
7、M成立，等价于：g(x1)g(x2)maxM，考察g(x)x3x23，g(x)3x22x3x.x02g(x)0g(x)3递减极(最)小值递增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以满足条件的最大整数M4；(3)当x时，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立，记h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，h(1)0.记m(x)12xln xx，m(x)32ln x，由于x，m(x)32ln x0，所以m(x)h(x)12xln xx在上递减，当x时，h(x)0，x(1,2时，h(x)0，即函数h(x)xx2ln x在区间上递增，在区间(1,2上递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.
