1、 知识点一正弦定理和余弦定理 1(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB(A)A4 B.C. D2解析：因为cosC2cos2121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC251251()32，所以AB4，故选A.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A75.解析：由正弦定理，得sinB，结合bc得B45，则A180BC75.知识点二在ABC中，已知a、b和A时，解的情况 3在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有(B)A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：bsinA24sin451218，bsinAab，且
2、B(0，)，所以B，所以A，所以ABC的面积SbcsinA22sin221.6在ABC中，a3，b2，cosC，则ABC的面积为4.解析：cosC，sinC，SABCabsinC324.1三角形中的必备结论(1)abAB(大边对大角)(2)ABC(三角形内角和定理)(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，sincos，cossin.(4)射影定理：bcosCccosBa，bcosAacosBc，acosCccosAb.2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制第1课时正弦定理、余弦定理考向一正弦定理、余弦定理、解三角形 【例1】(2018天津卷)在ABC
3、中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos(B)(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值【解】(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos(B)，得asinBacos(B)，即sinBcos(B)，可得tanB.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos(B)，可得sinA.因为ac，则(B)A B2C3 D解析：(1)因为a，b2，A60，所以由正弦定理得sinB.由余弦定理a2b2c22bccosA可得c22c30，所以
4、c3.(2)由余弦定理b2a2c22accosB可得acosB，又acosBc0，a2bc，所以c，即2b25bc2c20，所以有(b2c)(2bc)0.所以b2c或c2b，又bc，所以2.故选B.考向二判断三角形形状 【例2】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC，试判断ABC的形状【解】(1)因为2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，所以2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cosA，所以A60.(2)因为ABC180，所以BC18060120，由sin
5、BsinC，得sinBsin(120B)，所以sinBsin120cosBcos120sinB.所以sinBcosB，即sin(B30)1.又因为0B120，所以30B30150，所以B3090，即B60.所以ABC60，所以ABC为正三角形判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2ccosA，c2bcosA，则ABC的形状为(C)A直角三角形 B锐角三角形C等边三角形 D等腰
6、直角三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为(B)A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：(1)由正弦定理，得sinB2sinCcosA，sinC2sinBcosA，即sin(AC)2sinCcosAsinAcosCcosAsinC，即sinAcosCcosAsinC0，所以sin(AC)0，AC，同理可得AB，所以三角形为等边三角形故选C.(2)因为cos2，所以2cos211，所以cosB，所以，所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形故选B.考向三与三角形面积有关的问题 【例3】(2019昆明调研测试)已知AB
7、C的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积【解】(1)因为SABC62sinACB3，所以sinACB，ACB30或150，又ADC45，所以ACB150，由余弦定理得AB21236226cos15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理
8、进行边和角的转化(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ABC的面积为.解析：由bsinCcsinB4asinBsinC得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，因为sinBsinC0，所以sinA.因为b2c2a28，cosA，所以bc，所以SABCbcsinA.(2)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.求c；设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解：由sinAcosA0及cosA0，得tanA，又0A，所以A.由余弦定理，得
9、284c24ccos.即c22c240，解得c6(舍去)，c4.由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.第2课时解三角形的应用 考向一 解三角形在实际中的应用 【例1】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解】在ABD中，
10、由题意知，ADBBAD30，所以ABBD1 km，因为ABD120，由正弦定理得，解得AD km，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD km，BCBDCD km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而0，c0，所以1，则4ac(4ac)()5529，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9.【答案】9求三角形中的最值一般可采用两种方法(1)类似本例运用基本不等式；(2)将边或面积转化为yAsin(x)的形式，利用三角函数最值的方法处理在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足bc，若点O是ABC外一点，AOB(0)，OA2，OB1，则平面四边形OACB面积的最大值是(B)A. B.C.3 D.解析：由bc得BC，由正弦定理得，sinBcosAsinAsinAcosB，所以sinAsinBcosAsinAcosBsin(AB)，又ABC，ABC，sinAsinC，所以AC，所以ABC是等边三角形，在AOB中，由余弦定理得AB22212221cos54cos，所以S四边形OACBSOABSABCOAOBsinAB2sin(54cos)sincos2sin，所以，当，即时，S四边形OACB取最大值，为2，故选B.
