1、专题能力训练9三角函数的图象与性质专题能力训练第24页一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin2x-3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向右平移6个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函数y=sin 2x的图象上所有点向右平移6个单位长度,故选D.2.若函数f(x)=sin x+3cos x(xR),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值为34,则正数的值是()A.13B.32C.43D.23答案:D解析:因为f(x)=2sinx+3(xR),所
2、以函数f(x)的最大值为2,最小值为-2.由已知f()=-2,f()=0,得(,-2)为函数f(x)的图象上的一个最低点,(,0)为一个对称中心,故|-|的最小值等于周期的14,即34=T4,所以T=3,所以=23=23.3.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=k2-6(kZ)B.x=k2+6(kZ)C.x=k2-12(kZ)D.x=k2+12(kZ)答案:B解析:由题意可知,将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度得y=2sin2x+12=2sin2x+6的图象.令2x+6=2+k(kZ),得x=k2+6(kZ).故选B.4.
3、(2018全国,理10)若f(x)=cos x-sin x在区间-a,a上是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.答案:A解析:f(x)=2cosx+4的图象如图所示,要使f(x)在区间-a,a上为减函数,a的最大值为4.5.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象关于直线x=3对称,若它的最小正周期为,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,0答案:B解析:由题意知T=,则=2.由函数f(x)的图象关于直线x=3对称,得23+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|2,=-6,f(x)=Asin2x-6.令2x-6=
4、k(kZ),则x=12+k2(kZ).函数f(x)的图象的一个对称中心为12,0.故选B.6.若函数f(x)=2sin(x+2)cos x02的图象过点(0,2),则()A.点4,0是y=f(x)图象的一个对称中心B.直线x=4是y=f(x)图象的一条对称轴C.函数y=f(x)的最小正周期是2D.函数y=f(x)的值域是0,2答案:D解析:函数f(x)=2sin(x+2)cosx00)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.答案:512解析:f(x)=3cos 2x-2sin xcos x=3cos 2x-sin 2x=2cos2x+6,将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的
5、函数解析式为f(x)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它为偶函数,则需要2n+6=k(kZ),所以n=k2-12(kZ).因为n0,所以当k=1时,n有最小值512.8.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示,则f(x)=.答案:2sin8x+4解析:由题意,得A=2,函数f(x)的周期为T=16.T=2,=8,此时f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin82+=sin4+=1,则4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|0,0)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.3C.-3D.-2答案:A解析
6、:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T=6.所以=2T=3.又f(x)的图象过点(0,1),代入得2sin =1,所以=2k+6或=2k+56(kZ).又0,所以=6或=56.所以f(x)=2sin3x+6或f(x)=2sin3x+56.对于函数f(x)=2sin3x+6,当x略微大于0时,有f(x)2sin6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.(2019全国,理12)设函数f(x)=sinx+5(0),已知f(x)在区间0,2上有且仅有5个零点,下述四个结论:f(x)在
7、区间(0,2)内有且仅有3个极大值点f(x)在区间(0,2)内有且仅有2个极小值点f(x)在区间0,10内单调递增的取值范围是125,2910其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.答案:D解析:f(x)=sinx+5(0)在区间0,2上有且仅有5个零点,52+56,解得1252910,故正确.画出f(x)的图象(图略),由图易知正确,不正确.当0x10时,5x+510+5,又1252910,10+529100+20100=491000,0)图象的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4,将其向右平移6个单位长度后得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间34,上单调递增,则的取值范围为
8、()A.6,2B.3,56C.3,23D.4,34答案:B解析:由题意,得T4=4,所以T=,所以=2=2,所以f(x)=sin(2x+).从而g(x)=sin2x-6+=sin2x+-3.由-2+2k2x+-32+2k,kZ,得-12-2+kx512-2+k,kZ.要使g(x)在区间34,上单调递增,则需满足-12-2+k34,512-2+k,kZ,即-53+2k,-76+2k,kZ,解得-53+2k-76+2k,kZ.又0,当k=1时,可得356,符合条件.15.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:f(x)=sin x+cos x;f(x
9、)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)答案:解析:首先化简题中的四个解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sin x,f(x)=2sin x+2.可知f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理f(x)=2sinx+4的图象与f(x)=2sinx+4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)=2sin x+2的图象可以向左平移4个单位,再向下平移2个单位即可
10、得到f(x)=2sinx+4的图象,所以为“互为生成”函数.16.已知函数f(x)=sin x+3cos x,把函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x0,2时,方程g(x)-k=0恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围为.答案:1,2)解析:函数f(x)=sin x+3cos x=2sinx+3,把函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,得到f1(x)=2sinx+6的图象,再把函数f1(x)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)=2sin2x+6的图象.因为x0,2,所以2x+66,7
11、6.令62x+62,解得0x6,即函数g(x)在区间0,6上单调递增;令22x+676,解得6x2,即函数g(x)在区间6,2上单调递减,且g(0)=2sin6=1,g6=2sin 2=2,g2=2sin 76=-1.要使方程g(x)-k=0恰好有两个不同的实根,即y=g(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,结合图象(图略),可得实数k的取值范围是1k2,即1,2).17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对
12、称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间0,2)内有两个不同的解,.求实数m的取值范围;证明:cos(-)=2m25-1.答案:(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移2个单位长度后P到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+2(kZ).(2)解f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意,sin(x+)=m5在区间0,
13、2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).证法一因为,是方程5sin(x+)=m在区间0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos 2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.证法二因为,是方程5sin(x+)=m在区间0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m5时,+=22-,即+=-(+);当-5m1时,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.
