1、数列求通项专题数列求通项公式常见的有叠加法、叠乘法、构造法、及已知Sn求an等基本方法，要熟练掌握这些基本方法，还要注意奇偶分项的讨论。1、 已知数列an中，a1=3,an=2an-1+n-2(n2)证明数列an+n是等比数列并求数列an的通项公式。证明： an+n=2（an-1+n-1）(n2) an+nan-1+n-1=2 数列an+n是以a1+1=4为首项，公比为2的等比数列 an+n=42n-1=2n+1an=2n+1-n经验证n=1符合，所以an=2n+1-nnN*2、已知数列an中，a1=0,a7=63,an+1=3an-2an-1(n2)证明数列an+1-an是等比数列并求数列a
2、n的通项公式。分析：本题根据2019年高考全国一卷21题改编而成，首先证明数列an+1-an是等比数列，然后用叠加法求数列an的通项公式。证明： an+1-an=2（an-an-1） an+1-anan-an-1=2 数列an+1-an是以a2-a1=a2为首项，公比为2的等比数列an+1-an=a22n-1a2-a1=a2a3-a2=a22a4-a3=a222 an-an-1=a22n-2叠加得an=a2(1+21+22+2n-2)=a21(1-2n-1)1-2=a2(2n-1-1)a7=a227-1-1=63a2=1an=2n-1-1经验证n=1符合，所以an=2n-1-1nN*3、已知数
3、列an满足a1=1,a2=83,an+1=1+1nan+n+1n(nN*,为常数)（1） 求实数的值（2） 设bn=ann，求数列bn的通项公式。解析：（1）a2=2a1+2，得=3（2）an+1=1+1nan+n+13n bn=ann，bn+1=an+1n+1=ann+13n可得bn+1-bn=13n当n=1，b1=1n2时，b2-b1=131b3-b2=132b4-b3=133 bn-bn-1=13n-1叠加得bn=131+132+133+13n-1=13(1-(13)n-1)1-13=12-123n-1bn=32-123n-1(n2)经验证n=1符合，所以bn=32-123n-1nN*4
4、、已知数列an中， a1=1,且满足a2n+1=2a2n-1+1，a2n=a2n-1+1，求数列an的通项公式。解析：a2n+1+1=2（a2n-1+1） a2n+1+1a2n-1+1=2因为a2n=a2n-1+1所以a2n+2a2n=2 数列a2n是以a2为首项，公比为2的等比数列a2=2 a2n=22n-1=2n所以a2n-1=2n-1经验证n=1符合，所以an=2n2 n为偶数2n2 -1 n为奇数nN*5、已知数列an满足a1=0,a2=1,an+2=an+1+12an(nN*,R)（1） 若bn=an+1+an，试问是否存在实数，使得数列bn是等比数列？若存在，求出实数的值，若不存在
5、，说明理由。（2） 在（1）的条件下，求数列an的通项公式。解析：假设存在实数，使得数列bn是等比数列，则b22=b1b3由已知得b1=1,b2=+1,b3=2+12,所以(+1)2=2+12，可得=-12bn+1bn=an+2+an+1an+1+an=-12an+1+12an+an+1an+1+an=12所以数列bn是以12为公比的等比数列（3） bn=an+1+an=(12)n-1解法一： an+1+an=(12)n-1，an+2+an+1=(12)n所以an+2-an=-(12)nn为奇数， a3-a1=-(12)1a5-a3=-(12)3a7-a5=-(12)5 an-an-2=-(1
6、2)n-2叠加得an=0-121-123-125-12n-2=-12(1-(14)n-12)1-14=-23(1-(12)n-1)n为偶数， a2=1a4-a2=-(12)2a6-a4=-(12)4 an-an-2=-(12)n-2叠加得an=1-122-124-12n-2=1-(12)2(1-(14)n-22)1-14=1-13(1-(12)n-2)所以an=-23+13(12)n-2 n为奇数23+13(12)n-2 n为偶数 nN*解法二：因为an+1+an=(12)n-1n为奇数，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an=0+121+123+125+12n-2=12(1-(1
7、4)n-12)1-14=23(1-(12)n-1)n为偶数，Sn=a1+a2+a3+a4+an-1+an=120+122+124+12n-2=1*(1-(14)n2)1-14=43(1-(12)n)n为奇数 an=Sn-Sn-1n2 =23(1-12)n-1-43(1-(12)n-1) =-23+13(12)n-2n=1,a1=0符合n为偶数 an=Sn-Sn-1 =43(1-12)n-23(1-(12)n-2) =23+13(12)n-2所以an=-23+13(12)n-2 n为奇数23+13(12)n-2 n为偶数 nN*解法三： an+1+an=(12)n-12n+1an+1+2n+1a
8、n=4令cn=2nancn+1+2cn=4cn+1-43=-2(cn-43)数列cn-43是等比数列cn-43=-43*(-2)n-12nan=43-43*(-2)n-1所以an=13*(12)n-2-(-1)n-1236、已知数列an中， a1=1,且满足anan+1=12n，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和解析：（1） anan+1=12nan+1an+2=12n+1an+2an=12n为奇数，a3a1a5a3anan-2=12n-12an=12n-12n为偶数，a4a2a6a4anan-2=12n-22a2=12an=12n2所以an=12n2 n为偶数12n-12 n为奇数nN*（2） n为奇数，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an=a1+a3+a5+an+a2+a4+an-1=1-12n+121-12+12(1-12n-12)1-12=3-212n-12 n为偶数，Sn=a1+a2+a3+a4+a5+an-1+an=a1+a3+a5+an-1+a2+a4+an=1-12n21-12+12(1-12n2)1-12=3-312n2当然也可以用Sn求an，n为奇数，an=Sn-Sn-1=（3-212n-12）-（3-312n-12）=12n-12n为偶数，an=Sn-Sn-1=（3-312n2）-（3-212n-22）=12n2
