1、高考资源网（） 您身边的高考专家1定积分的概念1.1定积分的背景面积和路程问题1.2定积分学 习 目 标核 心 素 养1了解定积分的实际背景及定积分的概念.2理解定积分的几何意义及性质(难点)3.能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题(重点)1借助图形理解定积分的几何意义，提升了学生的直观想象的核心素养.2借助利用定积分的几何意义求定积分的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1曲边梯形的面积(1)曲边梯形的概念由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的步骤分割，近似替代，求和，取极值2定积分(1)定积分的定义一般地，给定一个
2、在区间a，b上的函数yf(x)，将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积
3、分的上限，f(x)叫作被积函数(2)定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，x轴和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(3)定积分的性质1dxba；kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)提醒若f(x)在a，a上连续，则当f(x)是偶函数时，f(x)dx2 f(x)dx；当f(x)是奇函数时，f(x)dx0.1函数f(x)x2在区间(i1,2，n)上，()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化
4、D当n很大时，f(x)的值变化很小D当n很大时，矩形的宽越来越小，区间端点处的函数值越来越接近，函数值变化很小2在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1,1n等分，则每个小区间的长度为_每个小区间长度为.3已知f(x)dx6，则6f(x)dx_.366f(x)dx6f(x)dx6636.4若f(x)dx3，g(x)dx2，则f(x)g(x)dx_.5原式325.求曲边梯形的面积【例1】求直线y0，x1，x2，曲线yx2围成的曲边梯形的面积思路探究：按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解解分割：在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将区间1,2等分成n个小区
5、间：，.记第i个区间为 (i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，显然，SSi.近似代替：记f(x)x2，当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为函数f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f，从图形(图略)上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx(n22nii2)(i1,2，n)，求和：由可推知SnSix(n22nii2)(22n2)2，从而得到S的近似值S
6、Sn2.取极限：可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，Sn2趋向于S，从而有SSn20(10)(10)2.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割在区间a，b中等间隔地插入n1个分点，将其等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，小区间的长度xixixi1第二步：近似代替，“以直代曲”用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值第三步：求和将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限当n时，SnS，S即为所求1求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_1.02将区间5等分所得的小区间
7、为，于是所求平面图形的面积近似等于1.02定积分的几何意义【例2】利用定积分的几何意义求下列定积分(1) dx；(2)(2x1)dx；(3)(x33x)dx.思路探究：对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解解(1)曲线y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图所示其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)曲线f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3，y0围成的直角梯形OABC的面积，如图.其面积为S(17)312根据定积分的几何意义知(2x1
8、)dx12图 图(3)yx33x在区间1,1上为奇函数，图像关于原点对称，曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等由定积分的几何意义知(x33x)dx0.1定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，xb及y0所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确2奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数yf(x)的图像在a，a上连续，则0.(2)若偶函数yf(x)的图像在a，a上连续，则2f(x)d
9、x.2根据定积分的几何意义求下列定积分的值(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图，xdxA1A10.(2)如图，cos xdxA1A2A30.(3)如图，A1A2，|x|dx2A121(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)定积分性质的应用探究问题1怎样求分段函数的定积分？提示可先把每一段函数的定积分求出后再相加2怎样求奇(偶)函数在区间a，a上的定积分？提示(1)若奇函数yf(x)的图像在a，a上连续，则af(x)dx0；(2)若偶函数yg(x)的图像在a，a上连续，则g(x)dx2g(x)dx.【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(
10、1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2思路探究：由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示解(1)曲线所围成的平面区域如图所示设此面积为S，则S(0)dxdx.(2)曲线所围成的平面区域如图所示设面积为S，则SA1A2因为A1由y，y，x1围成，A2由y，yx2，x1和x4围成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广：3如图所示，在边长为1的正方形OAB
11、C中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C. D.C根据题意，正方形OABC的面积为111，而阴影部分由函数yx与y围成，其面积为(x)dx.则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为.1定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关定积分f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值一般也不同2求曲边梯形的面积的步骤用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求曲边梯形的面积，具体步骤如下：3定积分的物理意义：从物理学的角度来看，如果在时间区间t1，t2上vv(t)连续且恒有
12、v(t)0，那么定积分v(t)dt表示做变速直线运动的物体在时间区间t1，t2内经过的路程这就是定积分v(t)dt的物理意义4关于定积分的几何意义由三条直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则有：若在区间a，b上，f(x)0，则Sf(x)dx，如图(1)所示，即f(x)dxS.(1)(2)(3)若在区间a，b上，f(x)0，则Sf(x)dx，如图(2)所示，即f(x)dxS.若在区间a，c上，f(x)0，在区间c，b上，f(x)0，则Sf(x)dxf(x)dx，如图(3)所示，即f(x)dxSASB(SA，SB表示所在区域A，B的面积)1下列等式不成立的是
13、()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdxC利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立例如xdx2，2dx4，2xdx4，即2xdxxdx2dx.2当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替()AfBfCf Df(0)C当n很大时，f(x)x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替3由函数f(x)(x1)3，x，x2及x轴围成的封闭图形的面积是_由题意，函数f(x)(x1)3，x，x2及x轴围成的封闭图形的面积为S(x1)3dx (x1)3dx(21)4.4用定积分的几何意义求dx.解由y可知x2y24(y0)，其图像如图dx等于圆心角为60的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin，S矩形|AB|BC|2，dx2.- 13 - 版权所有高考资源网
