1、23直线和圆的极坐标方程24曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系表示.曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上那么方程(，)0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程(，)0的曲线1在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点
2、的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可常见简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r圆心为C(r，0)，半径为r的圆2rcos圆心为C，半径为r的圆2rsin过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点A(a，0)，与极轴垂直的直线cosa过点A，与极轴平行的直线sina过点A(a，0)，且与极轴成角的直线的极坐标方程sin()asin2.求简单曲线的极坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？提示：求简单曲线的极坐标方程的关键，
3、就是要找到极径和极角之间的关系，这常用到解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识及利用三角形的面积相等等知识来建立，之间的关系曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位利用和把曲线的两种方程进行相互转化圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系如图，设定点F到直线l的距离|FK|p，M(，)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为当0e1时，方程表示椭圆当e1时，方程表示开口向右的抛物线当e1时，方程只表示双曲线的右支，
4、定点是它的右焦点3我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？提示：如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线求简单曲线的极坐标方程(1)设P，直线l过P点且倾斜角为，求直线l的极坐标方程；(2)在极坐标系中，求半径为r，圆心为C的圆的极坐标方程思路点拨(1)设出直线上任一点M，构造三角形，求OM.(O为极点)(2)设出圆上任一点，根据半圆上的圆周角是直角，求与的关系解(1)如图所示，设M(，)(0)为直线l上除P点外的任意一点，极点为O，连接OM，OP，该直
5、线交Ox于点A，则有|OM|，|OP|2，MOP|，OPM，所以|OM|cosMOP|OP|，即cos|2，即cos2，显然点P也在这条直线上故所求直线的极坐标方程为cos2.(2)由题意知，圆经过极点O，设OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，如图，则|OA|2r，连接AM，则OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos，即2rsin，经验证，点O(0，0)，A的坐标皆满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin.规律方法求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：建立适当的极坐标系；在曲线上任取一点M(，)；根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的
6、是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常第步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可互动探究1(1)将本例(1)由特殊推广到一般情况，如图，设点P的极坐标为(1，1)，直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程；(2)将本例(2)中圆心变为(1，1)，求圆的极坐标方程解：(1)如图，设点M(，)为直线上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|，xOM，由点P的极坐标知|OP|1，xOP1.在MOP中，OMP，OPM(1)，由正弦定理得，即sin()1sin(1)，显然点P的坐标也是它的解(2)设
7、圆C的任意一点为M(，)，且O，C，M三点不共线，如图所示，在OCM中，由余弦定理得|OM|2|OC|22|OM|OC|cosCOM|CM|2，所以221cos(1)r2，可以检验，当O，C，M三点共线时的点M的坐标也适合上式，所以半径为r，圆心为C(1，1)的圆的极坐标方程为221cos(1)r20.化曲线的直角坐标方程为极坐标方程将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线yx(x0)；(2)圆x2y22ax0(a0)思路点拨将xcos，ysin代入化简解(1)将xcos，ysin代入yx，得sincos，tan，或.又x0，cos0，射线yx(x0)的极坐标方程为(0)(2)将xc
8、os，ysin代入x2y22ax0，得2cos22sin22acos0，即(2acos)0，2acos，圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos，圆心为(a，0)，半径为r|a|.规律方法化曲线的直角坐标方程f(x，y)0为极坐标方程f(，)0，只要将xcos，ysin代入到方程f(x，y)0中即可化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.例如x2y225化为极坐标方程时，有5或5两种情况，由于0，所以只取5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简变式训练2将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)直线xy0；(2)圆x2y2
9、2x10.解：(1)将xcos，ysin代入xy0，得cossin0，(cossin)0，tan1，(0)和(0)综上所述，直线xy0的极坐标方程为(0)和(0)(2)将xcos，ysin代入y2x22x10，得(sin)2(cos)22cos10，化简，得22cos10.化曲线的极坐标方程为直角坐标方程化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(1)cos2；(2)2cos；(3)2cos22；(4).思路点拨(1)将xcos直接代入即可(2)将方程两端同乘以.(3)将cos2进行三角恒等变形(4)将原方程变形，两端同乘以1cos，然后凑互化公式解根据点的极坐标化为直角坐标的公式
10、：2x2y2，cosx，siny求解(1)cos2，x2，是过点(2，0)，垂直于x轴的直线(2)2cos，22cos，x2y22x0，即(x1)2y21.故曲线是圆心为(1，0)，半径为1的圆(3)2cos22，2(cos2sin2)2，即2cos22sin22，x2y22.故曲线是中心为原点，焦点在x轴上的等轴双曲线(4)，1cos，x2y2(1x)2，即y22x1.规律方法(1)将2x2y2，cosx，siny代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程(2)解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如cos，sin，2的式子，进行整体代换方程的两边同乘以(或同除以)或方程两边平方是常用
11、的变形方法变式训练3极坐标方程4sin25表示的曲线是()A圆B椭圆C双曲线的一支 D抛物线解析：选D.将4sin25变形为：(22cos)5，252x，两边平方：4(x2y2)(52x)2，化简得：y25x，故选D.曲线极坐标方程的综合题(12分)在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：cos4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值思路点拨解答本题可以设出动点P、M的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决规范解答法一：(1)设动点P的极坐标为(，)，则点M为(0，).2分|OM|OP|1
12、2，012，得0.4分M在直线cos4上0cos4.即cos4，5分于是3cos(0)为所求的点P的轨迹方程.6分(2)由于点P的轨迹方程为3cos2cos，8分所以点P的轨迹是圆心为，半径为的圆(去掉极点).10分又直线l：cos4过点(4，0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为1.12分法二：(1)直线l：cos4的直角坐标方程为x4，2分设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4，y0)，由可得y0(x0)，4分又|OM|OP|12，则|OM|2|OP|2144，(x2y2)144整理得x2y23x(x0)，这就是点P的轨迹的直角坐标方程.6分(2)由上述可知，点P的轨
13、迹是圆心为，半径为的圆(去掉原点).10分又点R在直线l：x4上，由此可知RP的最小值为1.12分规律方法建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程形式的多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解变式训练4在极坐标系中，点到圆2cos的圆心的距离为()A2 B C. D解析：选D.极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为(1，)；极坐标系中的圆2cos化为平面直角坐标系中
14、的一般方程为x2y22x，即(x1)2y21，其圆心为(1，0)所求两点间的距离为.A基础达标.如图，已知点P的极坐标是(1，)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是()A1BcosC D解析：选C.由题图可知cos()1，即，故选C.直线和直线sin()1的位置关系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：选B.直线与直线sin()1的斜率相同，故选B.在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R)和cos 1解析：选B.由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2
15、y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.过极点O作圆C：8cos的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是_解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4，0)，半径为|OC|4，连接CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为直径的圆上点M的轨迹方程是4cos.法二：设M点的坐标是(，)，N(1，1)N点在圆8cos上，18cos1，M是ON的中点， 将它代入式得28cos，故点M的轨迹方程是4cos.答案：4cosB能力提升极坐标方程1表示()A直线B射线C圆 D椭圆解析：选C.由1得21，即x2y21，故选C.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为(
16、)A1 BcosC2cos D2sin解析：选C.设圆的一条直径为OA，则|OA|2，M(，)为圆上除O、A以外的任意一点，在RtOAM中，|OM|OA|cos，有2cos成立，经验证点O、A也满足其等式即2cos为所求极坐标方程cos2sin2表示的曲线为()A一条射线和一个圆 B两条直线C一个圆 D一条直线和一个圆解析：选D.原方程可化为：(2sin)cos0，2sin，或，前者表示圆，后者表示直线，故选D.极坐标方程2sin()化为直角坐标方程为()A(x)2(y)21By2(x)C(x)(y)0D4x212y23解析：选A.原方程可化为2cossin，两端同乘以得：2cossin，将公
17、式代入得：x2y2xy0，1.在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin，过点作曲线C的切线，则切线长为()A4 BC2 D2解析：选C.4sin化为普通方程为x2(y2)24，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为2，故选C.已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_解析：由4cos 可得x2y24x，即(x2)2y24，因此圆心C的直角坐标为(2，0)又点P的直角坐标为(2，2)，因此|CP|2.答案：2.在极坐标系中，点(2，)到直线sin 2的距离等于_解析：极坐标系中点(2，)对应的直角坐标为(，1)极坐
18、标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.答案：1.在极坐标系中，P是曲线12sin上的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求|PQ|的最大值解：12sin，212sin，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236.|PQ|max6618.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为：4sin，M是C1上的动点，P点满足2 ，P点的轨迹为曲线C2.求C2的方程；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P点的坐标为(，)，M点的坐标为(1，1)，所以14sin1，且，.代入上式得C2的方程为8sin.(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin .所以|AB|21|2.
