1、1归纳与类比11归纳推理1归纳推理的含义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性将这种推理方式称为归纳推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段 判断下列说法是否正确(在题后标注“”或“”)(1
2、)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)由三角形内角和为180，凸四边形内角和为360，凸五边形内角和为540，推测猜想：凸n边形内角和为(n2)180，这种推理是归纳推理()(3)若对事物的全体进行归纳，得出的结论是正确的()答案：(1)(2)(3) 数列2，5，11，20，x，47，中的x等于()A27B28C32D33解析：选C.因为数列的规律是523，1156，20119，因此，x2012，所以x201232. 如图所示，探索以下规律：根据规律，从2 013到2 015，箭头的方向依次为()ABCD解析：选B.观察规律可得周期T4，因此2 013
3、到2 015的箭头与1到3的一致，故选B. 观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1(nN，n2)，所以第五个不等式为1.答案：1；11；1；12；根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论解：(1)由杨辉三角可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和，故a336.故填6.(2)1211，3221，7231，15241，猜想不等式左边最后一项的分母为2n1，而不等式右端依次分别为：，.归纳得一般结论：1(nN)几何图形中的归纳推理如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线
4、段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【解】设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分(1)f(1)112，g(1)2；f(2)422，g(2)4；f(3)932，g(3)7；f(4)1642，g(4)11；所以n5时，f(5)25，g(5)16.(
5、2)根据题意猜测：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割为f(n)n2条线段，将圆最多分割为g(n)部分归纳推理在图形中的应用策略2.图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)(3)是由这样的小正方体摆放而成的按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_；(3)Sn_(nN)解析：第1层：1个；第2层：3个，即(12)个；第3层：6个，即(123)个；第4层：10个，即(1234)个；.由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn123n(nN)，
6、S1055.答案：(1)10(2)55(3)数列中的归纳推理已知数列an满足a11，an12an1(nN)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.【解】(1)当n1时，a22a112113，当n2时，a32a212317，同理可得a415，a531.(2)由于a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，所以可归纳猜想an2n1(nN)在本例中，若将“an12an1(nN)”改为“an1(nN)”，试归纳猜想通项公式an.解：当n1时，a11，由an1(nN)，得a2，a3，a4.由a11，a2，a3，a4，可归纳猜想通项公式an(nN)数列中的
7、归纳推理的基本方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点(4)运用归纳推理得出一般结论3.(1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 0145()A2 0182 012B2 0182 013C1 0102 012D1 0102 013(2)已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2，nN)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解：(1)选D.观察可知a2 01423
8、42 0162 015(22 016)2 0151 009，所以a2 01452 0151 00951 0102 013.(2)当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4；猜想：Sn，nN.思想方法归纳推理在图表问题中的应用如图，一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0，1)，然后它接着按图示在x轴，y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，则2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为()A(44，10)B(10，44)C(11，44)D(43，46)【解析】考查粒子运动到关键点(1，1)用时2秒，运动
9、到点(2，2)用时6秒，运动到点(3，3)用时12秒，运动到点(4，4)用时20秒，归纳猜想粒子运动到点(n，n)用时n(n1)秒又当n为奇数时，此后x秒粒子运动到点(n，nx)；当n为偶数时，此后x秒粒子运动到点(nx，n)(1xn)由于粒子运动到点(44，44)用时44451 980秒，所以2 014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为(10，44)【答案】B对于图表信息问题，关键要注意两点(1)根据问题中所呈现出来的图像、图表信息，通过整理、分析、加工，得出一定的结论.(2)要充分挖掘其内涵，理清数据之间的关系.1如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色
10、是()A白色B黑色C白色可能性大D黑色可能性大解析：选A.结合珠子的排列规律可知每5个珠子循环一次，即周期T5.又36571，故第36颗珠子的颜色是白色2把1，3，6，10，15，21，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A27B28C29D30解析：选B.第一个三角形数是1，第二个三角形数是123，第三个三角形数是1236，第四个三角形数是123410，因此，归纳推理得第n个三角形数是1234n(个)由此可以得出第七个三角形数是28.3已知数列an的通项公式an(nN)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值解：
11、f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)，由此猜想，f(n).A基础达标1根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113解析：选B.由19211；1293111；123941 111；1 2349511 111；归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同所以123 456971 111 111.2如图，观察图形规律，在其右下角的空
12、格处画上合适的图形，应为()解析：选A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.3设f0(x)cos x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)(nN)，则f2 015(x)()Asin xBsin xCcos xDcos x解析：选A.由条件知f0(x)cos x，f1(x)sin x，f2(x)cos x，f3(x)sin x，f4(x)cos x，故函数fn(x)以4为周期循环出现，故f2 015(x)sin x.4凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的
13、对角线条数f(n1)等于()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2解析：选C.凸n1边形的对角线条数f(n1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n1个顶点出发的n2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.5聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，.按照以上规律，若8具有“穿墙术”，则n()A7B35C48D63解析：选D.22，33 ，44，55 ，按照以上规律可得n82163.6一同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈
14、依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的个数是_解析：由1231278(个)白圈，781290.依规律再出现13个白圈，所以前100个圈中的个数为12.答案：127对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则ab_解析：根据图中的“分裂”规律，可知a21，b9，故ab30.答案：308设平面内有n条直线(n3，nN)，其中有且仅有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，若f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_，f(n)_(用含n的式子表示)解析：如图(1)、(2)、(3)、(4)，f(
15、3)2，f(4)f(3)35，f(5)f(4)49，f(6)f(5)514，归纳推理得f(n)(n3)，即f(4)5，f(n)(n3)答案：5(n3)9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：因为Snn2an(n2)，a11，所以S24a2a1a2，a2.S39a3a1a2a3，a3.S416a4a1a2a3a4，a4.所以猜想an.10已知a、b为正整数，设两直线l1：ybx与l2：yx的交点为P1(x1，y1)，且对于n2的自然数，两点(0，b)，(xn1，0)的连线与直线yx交于点Pn(xn，yn)(1)求点P1、P2的坐标；(2)猜
16、想Pn的坐标公式解：(1)解方程组得P1.过(0，b)，两点的直线方程为1，与yx联立解得P2.(2)由(1)可猜想Pn.B能力提升11将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931A809B853C785D893解析：选A.前20行共有正奇数13539202400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.12如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；，以此类推，设BAa1，A
17、A1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_解析：根据题意易得a12，a2，a31，所以an构成以a12，q的等比数列，所以a7a1q62.答案：13(1)(a)，(b)，(c)，(d)为四个平面图数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？请将结果填入下表中顶点数(V)边数(E)区域数(F)(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系；(3)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(a)332(b)8 12 6(c)6
18、 9 5(d)10 15 7(2)观察：3232.86122.6592.107152.通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为：VFE2.(3)由已知V999，F999，代入上述关系式得E1 996，故这个图有1 996条边14(选做题)如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳猜想该数列的通项公式；求a10，并说明a10表示的实际意义；若am9 900，求am是数列an的第几项，此时的方阵为几行几列解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，故所求数列为6，12，20，30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN.a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.令(m1)(m2)9 900，所以m98，即am是数列an的第98项，此时的方阵为99行100列
