1、第32讲复数夯实基础【p69】【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用；2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算；3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用【基础检测】1复数z (i为虚数单位)的共轭复数为()A.i B.iC.i D.i【解析】复数z，所以其共轭复数为i.【答案】A2若ai(12i)ti(i为虚数单位， a，tR)，则ta等于()A1 B0 C1 D2【解析】因为ai2tti，所以a2，t1，则at1.【答案】A3已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2i B2iC2i D2i【解析】由已知得z1i11
2、2i.【答案】C4复数z满足i，则z在复平面上对应的点所在象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】由已知可得z1zi，解得zi，zi，对应复平面上的点为，点在第四象限【答案】D5已知i是虚数单位，复数zai (aR)，且满足z，则|z|()A. B. C. D3【解析】由题意，得z2z(ai)2aia21a(2a1)i13i，所以解得a2，所以|z|2i|.【答案】C【知识要点】1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和_虚部_，若b0，则abi为虚数，若_a0，b0_，则abi为纯虚数，i为虚数单位(2)复数相等：复数
3、abicdi_ac且bd_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_ac且db_(a，b，c，dR)(4)复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|_2复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：i(cdi0)3两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(其中nN*)；(2)
4、(1i)22i，i，i.典 例 剖 析【p69】考点1复数的有关概念(1)若a为实数，且3i，则a()A4 B3 C3 D4【解析】3i，2ai(3i)(1i)24i，a4.【答案】D(2)复数z在复平面内对应的点位于第_象限【解析】z1i，对应的点为(1，1)，故对应的点位于第四象限【答案】四(3)设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1z)|()A. B2 C. D1【解析】依题意得(1z)(2i)(1i)3i，则|(1z)|3i|.【答案】A(4)如果复数(m2i)(1mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m_【解析】由复数的运算法则可知(m2i)(1mi)(m2m)(
5、m31)i，因为复数(m2i)(1mi)是纯虚数，则，解得m0或1.【答案】0或1【点评】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解考点2复数的运算(1)已知复数zii2i3i2 019，则z_【解析】zii2i3i2 019，z1.【答案】1(2)计算()A2i B2iC2i D2i【解析】2i.【答案】A(3)若复数z满足i2 019，其中i为虚数单位，则z_【解析】zi(1i)1i，z1i. 【答案】1i(4)计算：_【解析】
6、原式1i.【答案】1i【点评】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式【提醒】在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.考点3复数的几何意义(1)复数的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】i，
7、所以其共轭复数为i，所以对应的点位于第一象限【答案】A(2)在复平面内与复数z所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A12i B12iC2i D2i【解析】依题意得，复数zi(12i)2i，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A(2，1)对应的复数为2i.【答案】C(3)已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_【解析】由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据，得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，解得1.【答案】1(4)复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC
8、是钝角，则实数c的取值范围为_【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c6)，由BAC是钝角得0且B、A、C不共线，由(3，4)(c3，2c10)，其中当c9时，(6，8)2，此时B，A，C三点共线，故c9.c的取值范围是c且c9.【答案】(9，)【点评】对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观方 法 总 结【p70】1设zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条
9、件转化为实数问题是求解复数常用的方法2实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数3复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果走 进 高 考【p70】1(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0 B. C1 D.【解析】法一：因为z2i2ii2ii，所以|z|1.法二：因为z2i，所以|z|1.【答案】C2(2018全国卷)()Ai BiCi Di【解析】.【答案】D3(2018北京)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】i，其共轭复数为i，对应的点为，故选D.【答案
10、】D考 点 集 训【p212】A组题1已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)，i，则a()A2 B2 C2 D【解析】i，a2.【答案】B2复数的虚部是()A. i B. i C. 1 D. 1【解析】2i，则复数的虚部是1.【答案】C3已知aR，i为虚数单位，若(12i)(ai)为纯虚数，则a的值等于()A6 B2 C2 D6【解析】(12i)(ai)(a2)(12a)i，由复数的定义有：a2.【答案】B4在复平面内，复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】，对应的点位于第四象限【答案】D5在复平面内，复数对应的点与原点的距离是()A1 B. C2 D2【解析
11、】1i.对应的点与原点的距离是.【答案】B6设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_【解析】|abi|，(abi)(abi)a2b23.【答案】37已知bR，复数的实部和虚部相等，则b等于_【解析】i，所以有，b.【答案】8已知aR，则复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第_象限，复数z对应点的轨迹是_【解析】令zxyi，xa22a4(a1)230，y(a22a2)(a1)210，y，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.【解析】|z|， ，即，所以转化为(xa)2，整理得ax，则只需a，所以a.【答案】A3已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_【解析】
12、|z2|，(x2)2y23.由图可知.【答案】4(1)已知zC，且z(tR)，则复数z对应的点的轨迹为_【解析】设复数zxyi(x，yR)，xyi.据复数相等，可得22得x2y21.由可知x，y是的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x或y的范围来考虑由得t20，即1x1.而由得y21x20，1x1.综上，所求轨迹是单位圆，除去(1，0)点【答案】x2y21(x1)(2)已知复数满足4(32)i(i为虚数单位)，z|2|.则一个以z为根的实系数一元二次方程为_【解析】(12i)43i，2i，z|2i2|13i.又实系数方程虚根成对出现，即3i是另一个根，z6，z10，所求的一个一元二次方程可以是x26x100.【答案】x26x100备 课 札 记
