1、广东省江门市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合A=x|2x7，B=x|3x10，AB=( )A（2，10）B3，7）C（2，3D（7，10）考点：交集及其运算 专题：集合分析：由A与B，找出两集合的交集即可解答：解：A=（2，7），B=3，10），AB=3，7），故选：B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2i是虚数单位，+i=( )ABCD考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：+i=+i=故选：A点评
2、：本题考查了复数的运算法则，属于基础题3下列函数中，奇函数是( )Af（x）=2xBf（x）=log2xCf（x）=sinx+1Df（x）=sinx+tanx考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可解答：解：Af（x）=2x为增函数，非奇非偶函数，Bf（x）=log2x的定义域为（0，+），为非奇非偶函数，Cf（x）=sinx+1，则f（x）f（x）且f（x）f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数，Df（x）=sinxtanx=（sinx+tanx）=f（x），则函数f（x）为奇函数，满足条件故选：D点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，比较基础4已
3、知向量=（3，4），=（1，m），若（）=0，则m=( )ABC7D7考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：由向量模的公式和向量的数量积的坐标表示，结合向量的平方即为模的平方，可得m的方程，解出即可解答：解：向量=（3，4），=（1，m），则|=5，=3+4m，若（）=0，则=0，即为25（3+4m）=0，解得m=7故选C点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，运用数量积的坐标运算和向量的平方即为模的平方是解题的关键5如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，下列结论中，正确的是( )AEFBB1BEF平面ACC1A1CEFBDD
4、EF平面BCC1B1考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得EFA1C1，由此能推导出EF平面ACC1A1；在A中：由正方体的几何特征得B1B面A1B1C1D1，由A1C1面A1B1C1D1，得B1BA1C1，由此能求出EFBB1；在C中：由正方形对角线互相垂直可得ACBD，从而得到EF与BD垂直；在D中：由EFBB1，BB1BC=B，得EF与BC不垂直，从而EF平面BCC1B1不成立解答：解：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得A1B过E点，且E为A1B的中点，则EFA1C1，又A1C1平面ACC1A1，EF
5、平面ACC1A1，EF平面ACC1A1，故B正确；在A中：由正方体的几何特征可得B1B面A1B1C1D1，又由A1C1面A1B1C1D1，可得B1BA1C1，由EF平面ACC1A1可得EFBB1，故A正确；在C中：由正方形对角线互相垂直可得ACBD，EFA1C1，ACA1C1，EFAC，则EF与BD垂直，故C正确；在D中：EFBB1，BB1BC=B，EF与BC不垂直，EF平面BCC1B1不成立，故D错误故选：D点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力6某人睡午觉醒来，发现表停了
6、，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为( )ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，两值一比即可求出所求解答：解：由题意知这是一个几何概型，电台整点报时，事件总数包含的时间长度是60，满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到P=故选B点评：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题7若变量x、y满足约束条件，则
7、z=x+y的取值范围是( )A4，7B1，7C，7D1，7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=x+y得y=x+z，即直线的截距最大，z也最大平移直线y=x+z，即直线y=x+z经过点C（3，4）时，截距最大，此时z最大，为z=3+4=7经过点时，截距最小，由，得，即A（3，4），此时z最小，为z=3+4=11z7，故z的取值范围是1，7故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题
8、的基本方法8将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移（0）个单位长度，得到的曲线经过原点，则的最小值为( )ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的平移关系，以及函数奇偶性的性质进行求解解答：解：将函数f（x）=sin（x+）的图象向右平移（0）个单位长度得到f（x）=sin（x+），若到的曲线经过原点，则此时为奇函数，则=k，kZ，即=k，kZ，则当k=0时，取得最小值，故选：D点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数图象之间的关系，利用三角函数奇偶性的性质是解决本题的关键9下列命题中，错误的是( )A在ABC中，AB是s
9、inAsinB的充要条件B在锐角ABC中，不等式sinAcosB恒成立C在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B=60，b2=ac，则ABC必是等边三角形考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A在ABC中，由正弦定理可得，可得sinAsinBabAB，即可判断出正误；B在锐角ABC中，由0，可得=cosB，即可判断出正误；C在ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=22B即可判断出正误；D在ABC中，利用余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，代入已知可得a=c，又B=60，即
10、可得到ABC的形状，即可判断出正误解答：解：A在ABC中，由正弦定理可得，sinAsinBabAB，因此AB是sinAsinB的充要条件，正确；B在锐角ABC中，0，=cosB，因此不等式sinAcosB恒成立，正确；C在ABC中，acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A，B（0，），2A=2B或2A=22B，A=B或，因此ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题；D在ABC中，若B=60，b2=ac，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，ac=a2+c2ac，即（ac）2=0，解得a=c，又B=60，ABC必是等边
11、三角形，正确综上可得：C是假命题故选：C点评：本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、三角函数的单调性、诱导公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10设f（x）、g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（fg）（x），xR，（fg）（x）=f（g（x），若f（x）=，g（x）=，则( )A（ff）（x）=f（x）B（fg）（x）=f（x）C（gf）（x）=g（x）D（gg）（x）=g（x）考点：函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用分析：根据题目给的定义函数分别求出（ff）（x）等，然后判断即可，注意分段函数的定义域对解析式的影响解答：解：对于A，因为f（x）=，
12、所以当x0时，f（f（x）=f（x）=x；当x0时，f（x）=x20，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，所以（ff）（x）=f（x），故A正确；对于B，由已知得（fg）（x）=f（g（x）=，显然不等于f（x），故B错误；对于C，由已知得（gf）（x）=g（f（x）=，显然不等于g（x），故C错误；对于D，由已知得（gg）（x）=，显然不等于g（x），故D错误故选A点评：本题考查了“新定义问题”的解题思路，要注重对概念的理解，同时本题考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，考生只作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11命题“
13、若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是若a+b是偶数，则a、b都是偶数考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”解答：解：“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是：“若a+b是偶数，则a、b都是偶数”故答案为：若a+b是偶数，则a、b都是偶数点评：本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化12数列an满足a1=2，nN*，an+1=，则a2015=1考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件根据递推公式，利用递推思想依次求出数列的前4项，从而得到数列an是以3为周期的周期数列，又2015=6713+2，由此能求
14、出a2015解答：解：数列an满足a1=2，nN*，an+1=，=1，=，=2，数列an是以3为周期的周期数列，又2015=6713+2，a2015=a2=1故答案为：1点评：本题考查数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用，解题的关键是推导出数列an是以3为周期的周期数列13某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是82，已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是甲（第二个空填“甲”或“乙”）考点：极差、方差与标准差；茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，结合中位数的概念，得出乙的中位数是
15、多少，再分析数据的波动情况，得出甲的成绩较稳定些解答：解：根据茎叶图中的数据，乙的5次数学成绩按照大小顺序排列后，第3个数据是82，中位数是82；观察甲乙两位同学的5次数学成绩，甲的成绩分布在8190之间，集中在平均数84左右，相对集中些；乙的成绩分布在7991之间，也集中在平均数84左右，但相对分散些；甲的方差相对小些，成绩较稳定些故答案为：82，甲点评：本题考查了中位数与方差的应用问题，是基础题目（二）选做题（14、15两题，考生只能从中任选一题）【坐标系与参数方程选做题】14在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程是x2+2y2=5，C2的参数方程是（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标是
16、考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组求出交点的坐标，最后通过取值范围求出结果解答：解：C2的参数方程是（t为参数），转化成直角坐标方程为：x2=3y2则：解得：由于C2的参数方程是（t为参数），满足所以交点为：即交点坐标为：（，1）故答案为：（，1）点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用属于基础题型【几何证明选讲选做题】15如图所示，O的两条割线与O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，若PC=6，CD=7，PO=12，则AB=16考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：由切割线定理
17、得PCPD=PAPB，设圆半径为r，则6（6+）=（12r）（12+r），由此能求出AB的长解答：解：设圆半径为r，O的两条割线与O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，PCPD=PAPB，PC=6，CD=7，PO=12，6（6+）=（12r）（12+r），解得r=8，AB=2r=16故答案为：16点评：本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用三、解答题：本大题共6个小题，满分80分，解答时应写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，xR，0是常数（1）求的值；（2）若f（+）=，（0，），求sin2考点：三角函
18、数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=2sin（x+），由已知及周期公式即可求的值（2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得f（+）=2cos=，可得cos，由（0，），可得sin，sin2的值解答：解：（1）f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，T=，解得：=2（2）f（+）=2sin2（+）+=2sin（+）=2cos=，cos=，（0，），sin=，sin2=2sincos=2=点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期
19、性，属于基本知识的考查17从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在80，90）、110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图 专题：图表型；概率与统计；算法和程序框图分析：解：（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值（2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的
20、值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值（3）记质量指标在110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）解答：解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）10=1解得：a=0.005（2）A1=0.0051020=1，A2=0.0401020=8，A3=0.0301020=6，A4=0. 0201020=4，A5=0.0051020=1故输出的S=A2+A3+A4=18（3）记质量指标
21、在110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在80，90）的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种所以可得：P（A）=即从质量指标值分布在80，90）、110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为点评：本题考查读频率
22、分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题18如图1所示，直角梯形ABCD，ADC=90，ABCD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体DABC中（1）求证：BC平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得ACBC，取AC中点E，连接DE，则
23、DEAC，从而ED平面ABC，由此能证明BC平面ACD（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EFAD，三棱锥FBCE的高h=BC，SBCE=SACD，由此能求出三棱锥FBCE的体积解答：（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，AC2+BC2=AB2，ACBC取AC中点E，连接DE，则DEAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DE平面ACD，从而ED平面ABC，EDBC又ACBC，ACED=E，BC平面ACD（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，E是AC中点，EFAD，又EF平面BEF，AD平面BEF，AD平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥BACD的高，三棱锥F
24、BCE的高h=BC=2=，SBCE=SACD=22=1，所以三棱锥FBCE的体积为：VFBCE=1=点评：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养19已知an是公差为d的等差数列，nN*，an与an+1的等差中项为n（1）求a1与d的值；（2）设bn=2nan，求数列bn的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）在等差数列an中，由an与an+1的等差中项为n，得an+an+1=2n，代入等差数列的通项公式后由系数相等求得首项和公差；（2）由（1）求出an的通项，代入bn=2nan，分组后利用错位相减
25、法求和解答：解：（1）在等差数列an中，由an与an+1的等差中项为n，得an+an+1=2n，即2a1+（2n1）d=2n，（2a1d）+2nd=2n，解得（2）由（1）知，bn=2nan=（121+222+n2n）+2n1令，则，两式作差得：=（1n）2n+12点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的分组求和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题20设A是圆x2+y2=4上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足=，当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的标准方程；（2）设曲线C的左右焦点分别为F1、F2，经过F2的直线
26、m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2，求直线m的方程考点：直线和圆的方程的应用 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）点A在圆x2+y2=4上运动，引起点M的运动，我们可以由=得到点A和点M坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点M坐标所满足的方程；（2）根据|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2，得F1PF1Q，即，联立直线方程和椭圆方程消去y得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，运用设而不求的思想建立关系，求解即可解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），则点D坐标为（x0，0），由=可知，x=x0，y=y
27、0，点A在圆x2+y2=4上，把代入圆的方程，得，即 曲线C的标准方程是 （2）由（1）可知F2坐标为（1，0），设P，Q坐标为（x1，y1），（x2，y2）当直线m斜率不存在时易求|PQ|=3，不符合题意；当直线m斜率存在时，可设方程为y=k（x1）代入方程 ，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，*|PQ|2=|F1P|2+|F1Q|2，F1PF1Q，即，即k2（x11）（x21）+（x1+1）（x2+1）=0，展开并将*式代入化简得，7k2=9，解得或k=，直线m的方程为y=（x1），或y=（x1）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，属于难题21已知函数f（x）=x
28、3+ax2+4（aR是常数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线在y轴上的截距为5（1）求a的值；（2）k0，讨论直线y=kx与曲线y=f（x）的公共点的个数考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断 专题：导数的综合应用分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出f（1），由直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程，求出直线在y轴上的截距，由截距为5求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入函数解析式，求导得到函数的极值点与极值，根据x=0为极大值点，且极大值大于0，x=2为极小值点，且极小值等于0，可得k0时，直线y
29、=kx与曲线y=f（x）的公共点的个数为1个解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+4，f（x）=3x2+2ax，则f（1）=3+2a，又f（1）=5+a，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y5a=（3+2a）（x1），取x=0得：y=2a，由2a=5，得a=3；（2）f（x）=x33x2+4，f（x）=3x26x，当x（，0），（2，+）时，f（x）0，当x（0，2）时，f（x）0当x=0时函数f（x）取得极大值为f（0）=4；当x=2时函数f（x）取得极小值为f（2）=0由当x时，f（x）k0，直线y=kx与曲线y=f（x）只有1个公共点点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了根的存在性及根的个数的判断，是中高档题
