1、11.3二项分布与正态分布挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2018课标,20,12分二项分布的均值以及利用期望进行决策导数2018课标,8,5分 二项分布 相互独立事件2015课标,4,5分相互独立事件的概率2016课标,18,12 分条件概率的计算离散型随机变量的均值2014课标,5,5分条件概率的计算2.正态分布2017课标,19,12 分正态分布、二项分布
2、的概念和性质概率的计算以及数学期望2014课标,18,12分利用正态分布求概率频率分布直方图分析解读本节主要命题点有:(1)相互独立事件的概率,条件概率;(2)二项分布的概念、特征和相关计算;(3)正态分布的应用,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,中等以下,分值约为5分或12分 .主要考查考生的数据分析能力.破考点【考点集训】考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2017河北“五个一名校联盟”二模,4)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为1
3、5,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为() A.110B.15C.25D.12答案C2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A.25B.35C.18125D.54125答案D3.(2018广东德庆香山中学第一次模拟,9)某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为()A.
4、15B.12C.35D.38答案D考点二正态分布1.(2018广西柳州高级中学、南宁第二中学第二次联考,3)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(1,12),N(2,22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量1=0.4 kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数2=1.99答案D2.(2018广东茂名一模,6)设XN(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注:
5、若XN(,2),则P(-X+)=68.26%,P(-2X+2)=95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587答案D炼技法【方法集训】方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法1.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则如下:每人进行3个轮次的投篮;每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是() A.3B.83C.2D.53答案B2.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a
6、3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为.答案30 800729方法2正态分布及其应用方法1.(2018山东淄博一模,5)设随机变量服从正态分布N(3,4),若P(a+2),则a的值为()A.73B.53C.5D.3答案A2.(2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指
7、标值,所得频率分布直方图如下:(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(,2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为=142.7511.95;若N(,2),则P(-+)=0.682 6,P(-2+2)=0.954 4.解析(1)所抽取的100
8、包速冻水饺该项质量指标值的平均数x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5.(2)Z服从正态分布N(,2),且=26.5,11.95,P(14.55Z38.45)=P(26.5-11.95Z26.5+11.95)=0.682 6,Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.根据题意得XB4,12,P(X=0)=C40124=116;P(X=1)=C41124=14;P(X=2)=C42124=38;P(X=3)=C43124=14;P(X=4)=C44124=116.X的分布列为X01234P116143814116E(X)=412=2.过专题【五
9、年高考】A组统一命题课标卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布 1.(2018课标,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2.(2015课标,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A3.(2014课标,5,5分)某地区空气质量监测资料表
10、明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A4.(2018课标,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.考点二正态分布1.(2017课标,19,12分)为了监控某种零件的一条
11、生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.981
12、0.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.997 4.0.997 4160.959 2,0.0080.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3
13、,+3)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8.X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由
14、x=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721 591.134,剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.0080.09.思路分析(1)利用正态分布、二项分布的性质可求出P(X1)及X的数学期望;(
15、2)(i)先说明出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率,再说明监控生产过程方法的合理性;(ii)利用给出的数据可计算出区间(-3,+3),从而剔除(-3,+3)之外的数据,再利用剩余数据估计和.规律总结(1)正态分布:若变量X服从正态分布N(,2),则为样本的均值,正态曲线的对称轴为直线x=;为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.(2)二项分布:若变量XB(n,p),则X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).2.(2014课标,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
16、 x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数 x,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z +)=0.682 6,P(-2Z +2)=0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900
17、.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2ZD4D2=D5D3D6.考点二正态分布1.(2015湖北,4,5分)设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P
18、(Yt)答案C2.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-210 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布知,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973.5.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.
19、5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.解析(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,利润=产量市场价格-成本,X所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P(A)P(B)=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2
20、 000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为P(C1
21、C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.6.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1
22、)D=A1BC+A2B+A2BC,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.60
23、.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届四川成
24、都双流棠湖中学开学考试,2)某校共有500名高二学生,在一次考试中全校高二学生的语文成绩X服从正态分布N(110,2)(0),若P(100X110)=0.3,则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为() A.70B.80C.90D.100答案D2.(2019届浙江温州九校高三第一次联考,7)抽奖箱中有15个形状一样,颜色不一样的乒乓球(2个红色,3个黄色,其余为白色),抽到红球为一等奖,黄球为二等奖,白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖,则这90人中中奖人数的期望和方差分别是()A.6,0.4B.18,14.4C.30,10D.30,20答案D3.(2017江西九江十校联考二模,5)
25、设随机变量服从正态分布N(,7),若P(4),则 与D的值分别为() A.=3,D=7B.=3,D=7C.=3,D=7D.=3,D=7答案C4.(2018山东济南外国语学校12月月考,4)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”
26、的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是() A.127B.227C.281D.881答案B二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018安徽合肥名校联考,13)已知随机变量XN(1,2),若P(X0)=0.8,则P(X2)=.答案0.26.(2018辽宁沈阳东北育才学校第一次模拟,14)抛掷两枚骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在8次试验中,成功次数的期望是.答案4097.(2018江西南昌模拟,14)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为.答案35三、解答
27、题(共35分)8.(2019届广东佛山禅城统一调研考试(二),21)某农科所培育一种新型水稻品种,首批培育幼苗2 000株,株长均介于185 mm235 mm,从中随机抽取100株对株长进行统计分析,得到如下频率分布直方图:(1)求样本平均株长x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值代替);(2)假设幼苗的株长X服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2,试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数;(3)在第(2)问的条件下,选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段,若每株幼苗开花的概率为34,开花后结穗的概率为23,设最终结穗的
28、幼苗株数为,求的数学期望.附:839;若XN(,2),则P(-X+)=0.683;P(-2X+2)=0.954;P(-3X+3)=0.997.解析(1)x=1900.02+2000.315+2100.35+2200.275+2300.04=210,s2=2020.02+1020.315+1020.275+2020.04=83.(2)由(1)知,=x=210,=839,P(201X219)=P(210-9X210+9)=0.683,2 0000.683=1 366,2 000株幼苗的株长位于区间(201,219)内的株数大约是1 366.(3)由题意,进入育种试验阶段的幼苗株数为1 366,每株
29、幼苗最终结穗的概率P=3423=12,则B1 366,12,所以E()=1 36612=683.思路分析(1)使用加权平均数公式求x,再由方差公式求方差;(2)求出及的值,得到P(201X219),再乘2000得答案;(3)求出每株幼苗最终结穗的概率,可知最终结穗的幼苗株数服从二项分布,再由二项分布的期望公式求期望.9.(2017河北“五个一名校联盟”二模,18)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;300以上
30、为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数;(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为,求的分布列和数学期望.解析(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,该样本中空气质量为优良的频率为610=35,从而估计该地六月空气质量为优良的天数为3035=18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35,的所有可能取值为0,1,2,3,且B3,35.P(=0)=253=8125,P(=1)=C3135252=36125,P(=2)=C3235
31、225=54125,P(=3)=353=27125,的分布列为0123P8125361255412527125E=335=1.8.解题关键判断出服从二项分布是解第(2)问的关键.10.(2018湖南湘潭二模,18)某校高三年级有1 000人,某次数学考试不同成绩段的人数N(127,72).(1)求该校此次数学考试平均成绩;(2)计算得分超过141的人数;(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是14,若本学期有4次考试,X表示进入前100名的次数,写出X的分布列,并求期望与方差.(注:若XN(,2),则P(-X+)=68.26%,P(-2X141)=P(127+27)=121-P(-2+2)=0.022 8,故得分超过141分的人数为1 0000.022 823.(3)由题意知XB4,14,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=344=81256,P(X=1)=C41141343=2764,P(X=2)=C42142342=27128,P(X=3)=C43143341=364,P(X=4)=144=1256,故X的分布列为X01234P812562764271283641256期望E(X)=np=414=1,方差D(X)=np(1-p)=41434 = 34.
