1、山东省潍坊市2021届高三数学上学期期中试题(满分150分，考试时间120分钟)202011第卷(选择题共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合Ax|2x4，Bx|5x3，则AB()A. x|5x4 B. x|5x2C. x|2x3 D. x|3x1”是“(a1)(a2)y，则下列判断正确的是()A. B. x3y3 C. ()x()y D. ln(xy1)011. 已知函数f(x)cos(x)(0，0)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x，则()A. B. 函数yf(x)的图象可由ysin 2x的图象向
2、左平移个单位长度得到C. 函数f(x)在0，上的值域为1，D. 函数f(x)在区间，上单调递减12. 已知函数f(x)其中aR.下列关于函数f(x)的判断正确的是()A. 当a2时，f()4B. 当|a|0时，不等式f(x)2ax在0，)上恒成立第卷(非选择题共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. (x2)5的展开式中x4的系数为_14. 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为_15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)1，则f(1)f(2)f(3)f(2 021)_16. 已知菱形ABCD边长为3，BAD60，
3、点E为对角线AC上一点，AC6AE.将ABD沿BD翻折到ABD的位置，E记为E，且二面角ABDC的大小为120，则三棱锥ABCD的外接球的半径为_；过E作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为_四、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点(1) 求证：直线EF平面A1BC；(2) 若该正三棱柱的体积为2，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值18. (本小题满分12分)在 csin Bbsin ， cos B； bcos Ccsin Ba这三个条件中
4、任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A，点D是边AB上一点，AD5，CD7，且_，试判断AD和DB的大小关系注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19. (本小题满分12分)已知函数f(x)x33x23bxc在x0处取得极大值1.(1) 求函数yf(x)的图象在x1处的切线的方程；(2) 若函数f(x)在t，t2上不单调，求实数t的取值范围20.(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，ABC90，AB2BC2CD4，侧面PAD平面ABCD，PAPD2.(1) 求证：BDPA；(2) 已知平
5、面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角PDCN的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由21. (本小题满分12分)2020年10月16日是第40个世界粮食日中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m70，100)，其质量指标等级划分如下表：质量指标值m70，75)75，80)80，85)85，90)90，100质量
6、指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：(1) 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；(2) 若从质量指标值m85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m90，95)的件数X的分布列及数学期望；(3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1t4)：质量指标值m70，75)75，80)80，85)85，90)
7、90，100利润y(元)6t8t4t2tet试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 20.7，ln 51.6)22. (本小题满分12分)已知函数f(x)xexa(ln xx)(1) 当a0时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x0恒有不等式f(x)1成立求实数a的值；求证：x2ex(x2)ln x2sin x.2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊)数学参考答案及评分标准1. C2. B3. C4. C5. B6. B7. D8. A9. ABD10. BD11. BC12. ACD13. 4014. 1015.
8、116. (第一空2分，第二空3分)17. (1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，(1分)在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，所以EDCB.在B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，所以FDA1B.(3分)又ED，FD平面EFD，EDFDD，所以平面EFD平面A1BC.又EF平面EFD，所以EF平面A1BC.(5分)(2) 解：设AA1h，VABCA1B1C1SABCh4h，所以h2，即h2.(6分)因为平面ABC平面A1B1C1，所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角因为CC1平面A1B1C1，所以EF在平面A1
9、B1C1上的射影为C1F，所以EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角(8分)因为EC1，FC1，所以EF，所以cosEFC1，即EF与平面ABC所成角的余弦值为.(10分)18. 解：设ACx，在ACD中，由余弦定理可得49x2252x5cos ，(2分)即x25x240，解得x8或x3(舍去)，所以AC8.(3分)选择条件：由正弦定理得sin Csin Bsin Bsin .(4分)因为B(0，)，所以sin B0，所以sin Csin .(5分)因为ABC，所以sin C2sin cos cos .(6分)因为C(0，)，所以(0，)，所以cos 0，所以sin ，即，C.(10分)又A
10、，所以ABC是等边三角形，所以AB8，(11分)所以DB3，故ADDB.(12分)选择条件：由cos B，得sin B.(5分)因为ABC，所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.(8分)在ABC中，由正弦定理得，即，(10分)解得AB10.(11分)又AD5，故ADDB.(12分)选择条件：因为bcos Ccsin Ba，由正弦定理得sin Bcos Csin Csin Bsin A(4分)因为ABC，所以sin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以sin Csin Bsin Ccos B.因为sin C0
11、，所以sin Bcos B(7分)因为B(0，)，故B，所以ACB.(8分)在ABC中，由正弦定理得，即，(10分)解得AB4(1)10.(11分)因为AD5，所以ADDB.(12分)19. 解：(1) 因为f(x)3x26x3b，(1分)由题意可得解得b0，c1，(3分)所以f(x)x33x21；经检验，适合题意又f(1)1，f(1)3，(5分)所以函数yf(x)图象在x1处的切线的方程为y(1)3(x1)，即3xy20.(6分)(2) 因为f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2.(8分)当x0时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数；当x
12、2时，f(x)0，函数f(x)为增函数(9分)因为函数f(x)在t，t2上不单调，所以t0t2或t2t2，(11分)所以2t0或0t2.(12分)20. (1) 证明：连接BD，BD2，AD2，所以BD2AD2AB2，所以ADBD.(2分)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.因为PA平面PAD，所以BDPA.(4分)(2) 解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，因为M平面PAD，M平面PBC，所以Ml.又Pl，所以PM即为交线l.(5分)取AB中点Q，连DQ，则DQDC，过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH平面ABCD.分别以D
13、Q，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(6分)则P(1，1，)，C(0，2，0)，M(2，2，0)，D(0，0，0)，所以(1，1，)，(0，2，0)设平面PDC的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，所以取m(，0，1)(8分)设N(x1，y1，z1)，则(x11，y11，z1)(3，3，2)，所以x113，y113，z1，(13，13，)，(0，2，0)设平面NDC的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取n(，0，31)，(10分)所以|cosm，n|，所以821030，所以或，经检验时，不合题意，舍去所以存在点N，点N为PM的中点(12分)
14、21. 解：(1) 设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图，可得1件产品为废品的概率为P(0.040.02)50.3，则P(A)1C(0.3)310.0270.973.(2分)(2) 由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，m85，90)的频率为0.0850.4；m90，95)的频率为0.0450.2；m95，100的频率为0.0250.1.故利用分层抽样抽取的7件产品中，m85，90)的有4件，m90，95)的有2件，m95，100的有1件(4分)从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，
15、所以X的分布列为X012P(7分)所以E(X)012.(8分)(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1t4)：质量指标值m70，75)75，80)80，85)85，90)90，100利润y6t8t4t2tetP0.050.10.150.40.3故每件产品的利润y0.3t0.8t0.6t0.8t0.5et2.5t0.5et(1t4)(10分)则y2.50.5et，令y2.50.5et0，得tln 5，故当t(1，ln 5)时，y0，函数y2.5t0.5et单调递增；当t(ln 5，4)时，y0，函数y2.5t0.5et单调递减所以当tln 5时，y取得最
16、大值，为2.5ln 50.5eln 51.5.所以生产该产品能够盈利，当tln 51.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元(12分)22. (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，)(1分)由题意f(x)(x1)(ex)(x1)，令xexa0，得axex，令g(x)xex，g(x)exxex(x1)ex0，所以g(x)在x(0，)上为增函数，且g(0)0，所以axex有唯一实根，即f(x)0有唯一实根，设为x0，即ax0ex0，(3分)所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，)上为增函数，所以f(x)minf(x0)x0ex0a(ln x0x0)aaln a(5分)(解法2)f
17、(x)xexa(ln xx)eln xxa(ln xx)(x0)设tln xx，则tR.记(t)etat(tR)，故f(x)最小值即为(t)最小值(3分)(t)eta(a0)，当t(，ln a)时，(t)0，(t)单调递减，当t(ln a，)时，(t)0，(t)单调递增，所以f(x)min(ln a)eln aaln aaaln a，所以f(x)的最小值为aaln a(5分)(2) 解：当a0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；(6分)当a0时，由(1)可知f(x)minaaln a.设(a)aaln a(a0)，所以(a)ln a，当a(0，1)时，(a)0，(a)单调递增，
18、当a(1，)时，(a)0，(a)单调递减，所以(a)max(1)1，即aaln a1.(7分)由已知f(x)1恒成立，所以aaln a1，所以aaln a1，所以a1.(8分)证明：由可知xexln xx1，因此只需证x2x2ln x2sin x.因为ln xx1，只需证x2x2x22sin x，即x2x22sin x(10分)当x1时，x2x222sin x，结论成立；当x(0，1时，设g(x)x2x22sin x，g(x)2x12cos x，当x(0，1时，g(x)显然单调递增g(x)g(1)12cos 10，故g(x)单调递减，g(x)g(1)22sin 10，即x2x22sin x.综上，结论成立(12分)
