1、高考解答题突破(四)圆锥曲线的综合应用突破“两设”设点、设线圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单第2问往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中在求解时，要根据题目特征
2、，恰当的设点、设线，以简化运算考向一圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC.所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆
3、A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以|PQ|24 .解与圆锥曲线有关的范围、最值问题的三种方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域1(2019衡水中学统考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
4、C：1(ab0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(1,0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当OPB最大时，求直线l的方程解(1)由题意知，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，2b2.又a2b2c2，解得b21，a29，故椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：yk(x1)(k0)联立得(9k21)x218k2x9k290，故x1x2.设P(x0，y0)，则x0，y0k(x01)k，所以直线OP的斜率kOP.设直线l，OP的倾斜角分别为，则OPB，且tank
5、，tan，tanOPBtan().因为kb0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2xy60与直线MN垂直，垂足为B点，且点N是线段MB的中点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值解(1)由题意知，M(a,0)，N(0，b)，直线MN的斜率k，得a2b.点N是线段MB的中点，点B的坐标为(a,2b)，点B在直线2xy60上，2a2b6，又a2b，b，a2，椭圆C的方程为1.(2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，G(x0，y0)，将ykxm代入1，消去y整理得(14k2)x28k
6、mx4m2120，则64k2m24(14k2)(4m212)16(12k23m2)0，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m.四边形OEGF为平行四边形，(x1x2，y1y2)，得G，将G点坐标代入椭圆C的方程得m2(14k2)，又易得点O到直线EF的距离d，|EF|x1x2|，平行四边形OEGF的面积Sd|EF|m|x1x2|m|443.故平行四边形OEGF的面积S为定值3.考向三圆锥曲线中的探索性问题存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉
7、及对参数的讨论【例3】(2019湘东六校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b,0)，点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解(1)设椭圆焦距为2c，依据e有a2c，由|BF|BA|2有a2，有ab2，又a2b2c2，由可得a24，b23，椭圆C的方程为1.解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类
8、问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在3(2019合肥质检)设椭圆C：1(ab0)的离心率为，圆O：x2y22与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解(1)设椭圆C的半焦距为c，由椭圆C的离心率为知，bc，ab，则椭圆
9、C的方程为1.易求得点A(，0)，则点(，)在椭圆C上，1，解得b23，a26，椭圆C的方程为1.(2)|PM|PN|为定值2.当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为x，则P(，0)由(1)知M(，)，N(，)，|PM|PN|2.此时(，)，(，)，0，即OMON，当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，即m22(k21)由消去y得x22(kxm)26，即(12k2)x24kmx2m260，当0时，x1x2，x1x2.(x1，y1)，(x2，y2)，x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1
10、x2km(x1x2)m2(1k2)kmm20，OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON.又在RtOMN中，OPMN，由OMP与NOP相似可得|OP|2|PM|PN|2为定值专题强化训练(二十四)1.(2019郑州质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于两点P，Q，若PQF2的周长为4，求的最大值解(1)由题意可知以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切c，即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)a22b2，.
11、e .(2)PQF2的周长为4，4a4，a，由(1)知，b21，椭圆方程为y21，且焦点F1(1,0)，F2(1,0)若直线l的斜率不存在，则可得lx轴，直线l的方程为x1，解方程组可得或P，Q，(2)(2)4.故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，由消去y整理得(2k21)x24k2x2k220.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21(k21)(k21)k21，k20，可得1，综上可得1b0)的一条切线方程为y2x2，且离心率为.(1)求椭圆
12、C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两个不同的点，与y轴交于点M，且3，求实数m的取值范围解(1)由题意知，离心率e，ca，ba，1，将y2x2代入，得8x28x8a20，由12832(8a2)0，得a24，故椭圆C的标准方程为x21.(2)根据已知，得M(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，且4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2，由3，得x13x2，即x13x2，3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240，当m21时，m2k2m2k240不成立，k2，k2m240，m
13、240，即0，1m24，解得2m1或1m0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且(2,0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线的方程；(2)若k2k12，点D是B，C处切线的交点，记BCD的面积为S，证明S是定值解(1)设A(x0，y0)，可知F，故(2,0)，代入x22py(p0)，得4p2，即p2，抛物线的方程为x24y.(2)证明：如图，过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B，C，由(1)得A(2,1)，k2k1，又k2k12，2，即x2x18.又x24y即yx2，有yx，kBD，kCD，直线DB：yx，直线CD：yx.联立解得又直线BC的方程为y
14、(xx1)，将xD代入，得yE.BCD的面积为SED(x2x1)(yEyD)(x2x1)(x2x1)832(定值)4(2019福建福州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为A，以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1)，(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l不经过点A且斜率存在，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由解(1)依题意知点A的坐标为(0，b)，则以点A为圆心，以a为半径的圆的方程为x2(yb)2a2.令x0，得yba，由圆A与y轴的交点分别为(0,1)，(0,1)，可得解得故所求椭
15、圆C的方程为y21.(2)解法一：由题意得直线l不过点(0,1)且斜率存在，设直线l的方程为ykxm(m1)，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1，y11)，(x2，y21)，由0得x1x2y1y2(y1y2)10.由消去y得(3k21)x26kmx3m230，12(3k2m21)，由0得3k2m210，则x1x2，x1x2.又y1y2k2x1x2mk(x1x2)m2，y1y2k(x1x2)2m，代入式得(k21)x1x2(mkk)(x1x2)m22m10，所以(k21)(mkk)m22m10，整理得2m2m10，解得m或m1(舍)，满足0，此时直线l的方程为ykx，直线l过定点.解法二：由0得，可得PA的斜率存在且不为0，设直线lPA：ykx1则lQA：yx1，将代入椭圆方程并整理得(13k2)x26kx0，可得xP，则yP1，同理可得xQ，yQ1.由直线方程的两点式可得直线l的方程为，即yx，则直线l过定点，该定点的坐标为.
