1、第二讲选修45不等式选讲高考导航1绝对值不等式的求解与函数的综合问题2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合考点一绝对值不等式的解法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c0，则|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c0)型不等式的解法(1)零点分段讨论法(2)绝对值的几何意义(3)数形结合法【例1】(2019江西南昌联考)已知函数f(x)|2x4|x1|.(1)解不等式f(x)9；(2)若对于任意x(0,3)，不等式f(x)2xa恒成立，求实数a的取值范围解题指导(1)(2)解(1)f(x)9可化为|2x4|x1|9
2、，即或或解得2x4或1x2或2x1.故不等式的解集为2,4(2)|2x4|x1|2xa在x(0,3)时恒成立所以|2x4|x12xa，得xa12x4xa1，得x4；(2)若x，不等式a14或或x2或01.不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)由(1)知，当x时，f(x)3x2，当x，a1，即a.实数a的取值范围为.考点二与绝对值不等式有关的最值问题1形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|AxB(AxC)|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.2形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|Ax
3、BAxC|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)max|AxB|AxC|max|BC|，f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.3形如f(x)|AxB|CxD|或f(x)|AxB|CxD|的最值由绝对值的几何意义作图可求角度1：绝对值的几何意义及应用【例2】(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解题指导(1)(2)解(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|
4、4.由|a2|4可得a6或a2.角度2：含绝对值不等式的恒成立问题【例3】(2019郑州二模)已知函数f(x)|2x1|x2|.(1)画出函数f(x)的图象；(2)若关于x的不等式x2m1f(x)有解，求实数m的取值范围解题指导(1)(2)解(1)f(x)画出f(x)的图象如图所示(2)由(1)得f(x)x当x时，f(x)xmin2，题设等价于2m12，解得m.实数m的取值范围是.绝对值恒成立问题应关注的3点(1)巧用“|a|b|ab|a|b|”求最值(2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.(3)f(x)a有解f(x)mina有解f(x)maxa.1(2019江南十校联考
5、)设函数f(x)lg(|2x1|2|x1|a)(1)当a4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围解(1)当a4时，f(x)lg(|2x1|2|x1|4)，此时x应满足|2x1|2|x1|4.当x1时，12x2x24，解得x；当1x4，无解；当x时，2x12x24，解得x.综上，函数f(x)的定义域为.(2)函数f(x)的定义域为R，即|2x1|2|x1|a0在R上恒成立，即a(|2x1|2|x1|)min.因为|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，所以a0，求(ab)(a3b3)的最小值解(1)证明：要证原不等式，即证|ab|1ab
6、|，即证(ab)2(1ab)2，即证(a21)(1b2)0，a2b21，a21，b21，(a21)(1b2)0，故原不等式成立(2)(ab)(a3b3)a4ab3a3bb4a42b4(a2b2)21，当且仅当ab或ab时，(ab)(a3b3)取到最小值1.1(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时， f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1，当a1，x(，1
7、)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以，a的取值范围是1，)2(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解2此部分命题形式单一、
8、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用专题强化训练(三十四)1(2019唐山一模)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)4的解集；(2)若x(0,1)时，不等式f(x)x2恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时， f(x)|x1|x1|，即f(x)当x1时，由2x4，得x2，故2x1；当1x1时， f(x)24恒成立，故1x1；当x1时，由2x4，得x2，故1x2.综上，不等式f(x)4的解集为x|2x2(2)若x(0,1)时，不等式f(x)x2恒成立，即|x1|ax1|x2恒成立，等价于当x(0,1)时，|ax1|0，则|ax1|1，解得0x，所
9、以1，故01x的解集解(1)因为f(x)|x4|，所以yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又yf(2xa)f(2xa)的最小值为4，|2a|4，a2.(2)f(x)|x4|不等式f(x)1x等价于解得x2或x1x的解集为x|x2或x0，b0，c0，且f(x)的最小值为4bc，求证：2.解(1)当a1时， f(x)当x2时，由f(x)x21得x22x0，所以x1时，由f(x)x21得x22x20，所以x1.综上可得不等式f(x)x21的解集为x|x2或x1(2)证明：因为f(x)|xa|x2|(xa)(x2)|a2，当2xa时， f(x)取到最小值a2，所以a24bc，即abc2，所以112 2，当且仅当，即abc时等号成立4(2019山东青岛一模)已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.(1)证明：(1a)(1b)(1c)8；(2)证明：.证明(1)1a2，1b2，1c2，(1a)(1b)(1c)2228，abc1，(1a)(1b)(1c)8.(2)abbc22，abac22，bcac22，上面三式相加得，2ab2bc2ca222，即abbcca.又abbcac，.
