1、第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.1 平面向量的概念及线性运算 A 组 基础题组 1.(2018 浙江瑞安模拟)在四边形ABCD 中,若 =+,则四边形ABCD 一定是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 答案 D 依题意得 +=+,则 =,因此BCAD,且BC=AD,所以四边形 ABCD 是平行四边形,故选 D.2.设点 M 是线段 AB 的中点,点 C 在直线 AB 外,|=6,|+|=|-|,则|=()A.12 B.6 C.3 D.答案 C 因为|+|=2|,|-|=|,所以 2|=|=6,所以|=3,故选 C.3.设 O 是ABC 的内心,AB=c,AC=b,
2、若 =1 +2 ,则()A.=B.=C.=D.=答案 A 设 =1 ,=2 .因为O 是ABC的内心,所以 AO平分BAC,所以平行四边形 AMON 为菱形,且 10,20,由|=|,得|1|=|2|,即 1c=2b,亦即 =,故选 A.4.(2018 浙江温州普通高中模拟)已知点 A,B,C 是圆 O 上不同的三点,线段 CO与线段 AB 交于点 D,若 =+(0,0),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,D.(0,)答案 B 由题意可得 =k =k +k (0k1,即+的取值范围是(1,+),选项 B 正确.5.对于两个不共线的单位向量 a,b,给出下列四个命题:(a
3、+b)(a-b);2|=1,得|+|-|1,即|a+b|+|a-b|2.又由|=|=,得|a+b|+|a-b|2,故正确.a 与 b 在a+b 方向上的投影都为|,故正确.m=|,n=|,由|+|=|2=1,得 m2+n2=1.故正确.故选 D.6.已知点 P 为ABC 所在平面内一点,边 AB 的中点为 D,若 2 =(1-)+,其中 R,则 P 点一定在()A.AB 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 D.ABC 的内部 答案 C 因为 2 =(1-)+,所以2(+)=-+,2 +2 =-+,+2 -=-,因为D 为边 AB 的中点,所以 2 =,所以 =-
4、,所以 P 点一定在 AC 边所在的直线上.7.在ABC 中,|+|=4,|=2,记 h()=|-|,则 h()的最大值是()A.1 B.C.D.答案 B 将|-|=2 的两边平方后,整理得,=0,即ABC 为直角三角形.h()=|-|=|(-)|,设 D 为 BC 的中点,则h()=|+(1-)|.易知 h()为直角三角形CAD的斜边AD上的高,记为 h.设|=b,|=a,则 a2+b2=4.由面积相等知,h=()=.因为 +=()(a2+b2)=()(5+4)=(当且仅当 时,等号成立),所以 h .故选 B.8.(2019 浙江镇海中学月考)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与
5、BD 交于点O,+=,则=.答案 2 解析 由向量加法的平行四边形法则,得 +=2 ,故=2.9.设向量 a,b 不平行,向量 a+b 与 a+2b 平行,则实数=.答案 解析 由于 a,b 不平行,所以 a+b 与 a+2b 平行等价于 =,即=.10.(2018 浙江温州质检)如图所示,在ABC 中,BO 为边 AC 上的中线,=2 ,设 ,若 =+(R),则 的值为 .答案 解析 因为 =2 ,所以 =+=+,又 ,可设 =m ,从而 =+=+=()+.因为 =+,所以 =,=1+=.11.(2019 浙江杭州中学高三月考)已知 P 为ABC 内一点,且 -2 -=0,则PAC 的面积与
6、ABC 的面积之比等于 .答案 解析 根据题意有 5 =2 +,所以 =+,延长 AP 交 BC 于点 D,设 =,则 =+,因为 D,B,C 三点共线,所以 +=1,所以=,所以 =+,从而可以得到 D 是 BC 边的三等分点,且 CD=CB,设点 B 到边 AC 的距离为 d,则点 P 到边 AC 的距离为 d=d,所以PAC 的面积与ABC 的面积之比为 .B 组 提升题组 1.如图所示,已知点 G 是ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于点 M、N,且 =x ,=y ,则 的值为()A.3 B.C.2 D.答案 B 依题意知 =(+),所以 =-=(+)-x =(
7、-)+,=-=y -(+)=(-)-,设 =,即(-)+=(-)-,-,(-),消去 得 x+y-3xy=0,=,故选 B.2.(2018 浙江名校协作体高三联考)如图,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M,N,若 =m ,=n ,则m+n=.答案 2 解析 作 BGAC,且交 MN 于点 G,则|=|,GBC=C.因为 O 是 BC 的中点,所以 OB=OC,又GOB=NOC,所以NOCGOB,所以|BG|=|NC|,又因为|AC|=n|AN|,所以|NC|=(n-1)|AN|,所以|=n-1.因为|AB|=m|AM|,所以|BM|=
8、(1-m)|AM|,所以|=1-m,所以 n-1=1-m,所以 m+n=2.3.已知点 P 为ABC 所在平面上的一点,且 =+t ,其中 t 为实数,若点 P落在ABC 的内部,则 t 的取值范围是 .答案(,)解析 如图,作 AC 的平行线 DE,且使得 AD=AB,易知 DE=AC.因为 =+t ,P 在三角形 ABC 的内部,所以 P 在线段 DE(不包含端点)上,且 =t ,所以 t(,).4.在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且DM=1,DN=2,MDN=.(1)试用向量 ,表示向量 ,;(2)求|,|;(3)设 O 为ADM 的重心(三角形三条中线的交点),若 =x +y ,求 x,y 的值.解析(1)=-=-,=-=-.(2)由(1)知 =-,=-,所以|=(-)=,|=(-)=,所以|=|=.(3)由重心性质知 +=0,因为 =x +y ,所以 0=x +y -=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y),所以(x+y-1)(-x)(-y)=111,所以 x=y=.
